II Workshop da Matem´ atica e Matem´ atica Aplicada
Ouro Branco – MG, 2017
Otimiza¸c˜ ao de Redes de Tubula¸c˜ ao por Algoritmos Gen´ eticos Empregando a Correla¸c˜ ao de Colebrook Ricardo de Souza Antunes Lu´ıs Antˆ onio Scola Felipe dos Santos Loureiro
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Resumo: Este artigo apresenta um procedimento de otimiza¸c˜ao para identificar o m´ınimo custo de uma rede de tubula¸ca˜o considerando os diˆametros comerciais dispon´ıveis. Para tal, foi desenvolvido um c´odigo baseado em Algoritmos Gen´eticos (GA) com codifica¸ca˜o real usando operadores de cruzamento misto, mistura entre cruzamento convexo e discreto, muta¸c˜ao por indiv´ıduo e sele¸ca˜o por roleta, foram tamb´em empregados penalidade dinˆamica e elitismo como parˆametros avan¸cados. Ambas formula¸c˜oes de Hazen-Williams (HW) e Colebrook s˜ao utilizadas para o c´alculo da perda de carga no modelo do sistema hidr´aulico. Para valida¸c˜ao empregou-se uma rede benchmack, para esta ´e mostrado que diferentes resultados s˜ao obtidos para as correla¸co˜es de HW e Colebrook. Quando simulado a configura¸ca˜o o´tima obtida por HW, algumas restri¸c˜oes de carga foram violadas, indicando que a formula¸c˜ao de Colebrook ´e mais adequada para ser usada em conjunto com o GA devido a` randomiza¸ca˜o do GA com respeito ao n´ umero de Reynolds. Para V = {I : I 2 Z+ , 1 I M } seja o conjunto de tubos de uma rede de tubula¸ca˜o e S = {i : i 2 Z+ , 1 i N } o conjunto de n´os que conectam os tubos. A equa¸ca˜o de conserva¸c˜ao de energia dos n´os i a j ´e expressa em (1) como Hi , sendo o valor da energia (carga) no n´o e hI ´e a perda de carga expressa em (1) com RI , sendo o coeficiente de resistˆencia, QI a vaz˜ao, uma constante, fI fator de atrito, LI o comprimento e DI o diˆametro do tubo. Para escoamento turbulento, o fator de atrito ´e expresso 41
Aluno de Gradua¸c˜ ao em Ciˆencia da Computa¸c˜ ao, Universidade Federal de S˜ ao Jo˜ ao del-Rei - UFSJ,
[email protected] 42 Professor orientador, DCTEF - USFJ,
[email protected] 43 Professor orientador, DCTEF – UFSJ,
[email protected]
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em (2) com ReI , sendo o n´ umero de Reynolds, eI a rugosidade absoluta do tubo. Para escoamento laminar o valor de fI = 64/ReI . Hi = Hj + h I ,
8I 2 V, onde hI = RI QI ;
RI =
8fI LI g⇡ 2 DI5
(6)
⇣ e 1 2.51 ⌘ I p = 2.0 log p + (7) 3.7DI ReI fI fI O coeficiente de resistˆencia pode ser expresso tamb´em da seguinte forma, RI = K1 LI /C DIM , modelo proposto por Hazen-Williams (HW), sendo K1 , e m constantes. A equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao da massa ´e necess´aria para a modelagem da rede, expressa em (3) com Qi,e , sendo a vaz˜ao demanda no n´o. X Qsai Qentra + Qi,c = 0, 8i 2 S (8) I I I
Finalmente, para H 2 RN , Q 2 RM seja, respectivamente, os vetores de energia e vaz˜ao e para x = [H Q]T seja o vetor composto por estes. Depois de aplicar (1) e (3) para todos os tubos da rede, um sistema de equa¸co˜es n˜ao lineares escritas como f (x) = r ´e obtido em que r 2 RN +M representa um vetor conhecido formado pela vaz˜ao prescrita demanda nos n´os, bem como as altitudes relativas destes. O m´etodo de Newton-Raphson ´e empregado conforme (4). J (xk ) xk+1 = r
f (xk ) : xk+1 = xk +
xk+1
(9)
onde Ji,j (xk ) = @fi (xk /@xj ) ´e a matriz Jacobiana. O modelo pode ser expresso como D⇤ = arg min F (D) + P (D) , P D) = p
N ⇣X
max[Hj min
j=1
⌘ ⇣ Hj , 0] , p = '
nger nger max
⌘k
(10)
M onde D 2 ´e o vetor diˆametro relativo a rede e ´e a fun¸ca˜o objetivo a ser PR M F (D) = I=1 LI C(DI ) minimizada com C(DI ) sendo o custo da rede por comprimento, D ⇤ ´e o vetor que minimiza a fun¸ca˜o objetivo, Hj min sendo a carga m´ınima, P (D) ´e a fun¸ca˜o penalidade, ' o fator de penalidade, nger a gera¸ca˜o atual, nger max o n´ umero m´aximo gera¸co˜es e k constante de valor 0,8.
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