Московский Государственный Технический Университет им. Баумана Факультет “Фундаментальные науки” Кафедра “Высшая математика”
Математический анализ Лекция 2.5 к.ф.-м.н. Семакин А.Н.
Математический анализ, Лекция 2.5
1 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
Математический анализ, Лекция 2.5
2 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема (локальная ограниченность непрерывной функции)*
Математический анализ, Лекция 2.5
2 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема (локальная ограниченность непрерывной функции)* Если f (x) ∈ C (a), то существует такая окрестность точки a, в которой функция f (x) ограничена.
Математический анализ, Лекция 2.5
2 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство
Математический анализ, Лекция 2.5
3 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство f (x) ∈ C (a)
Математический анализ, Лекция 2.5
3 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство f (x) ∈ C (a) ⇒ по эквивалентному определению непрерывности функции имеем
Математический анализ, Лекция 2.5
3 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство f (x) ∈ C (a) ⇒ по эквивалентному определению непрерывности функции имеем ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε.
Математический анализ, Лекция 2.5
3 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство f (x) ∈ C (a) ⇒ по эквивалентному определению непрерывности функции имеем ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. Пусть ε = 1.
Математический анализ, Лекция 2.5
3 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство f (x) ∈ C (a) ⇒ по эквивалентному определению непрерывности функции имеем ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. Пусть ε = 1. Тогда
Математический анализ, Лекция 2.5
3 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство f (x) ∈ C (a) ⇒ по эквивалентному определению непрерывности функции имеем ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. Пусть ε = 1. Тогда ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < 1.
Математический анализ, Лекция 2.5
3 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство f (x) ∈ C (a) ⇒ по эквивалентному определению непрерывности функции имеем ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. Пусть ε = 1. Тогда ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < 1. ⇒ −1 < f (x) − f (a) < 1
Математический анализ, Лекция 2.5
3 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство f (x) ∈ C (a) ⇒ по эквивалентному определению непрерывности функции имеем ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. Пусть ε = 1. Тогда ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < 1. ⇒ −1 < f (x) − f (a) < 1 ⇒ f (a) − 1 < f (x) < f (a) + 1. Математический анализ, Лекция 2.5
3 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство f (x) ∈ C (a) ⇒ по эквивалентному определению непрерывности функции имеем ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. Пусть ε = 1. Тогда ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < 1. ⇒ −1 < f (x) − f (a) < 1 ⇒ f (a) − 1 < f (x) < f (a) + 1. ⇒ ∃U(a), в которой функция ограничена. Математический анализ, Лекция 2.5
3 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема (локальное знакопостоянство непрерывной функции)*
Математический анализ, Лекция 2.5
4 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема (локальное знакопостоянство непрерывной функции)* Если f (x) ∈ C (a) и f (a) 6= 0, то в некоторой окрестности точки a функция сохраняет свой знак.
Математический анализ, Лекция 2.5
4 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
Доказательство
Математический анализ, Лекция 2.5
5 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
Доказательство Рассмотрим случай f (a) > 0.
Математический анализ, Лекция 2.5
5 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
Доказательство Рассмотрим случай f (a) > 0. f (x) ∈ C (a)
Математический анализ, Лекция 2.5
5 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
Доказательство Рассмотрим случай f (a) > 0. f (x) ∈ C (a) ⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε.
Математический анализ, Лекция 2.5
5 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
Доказательство Рассмотрим случай f (a) > 0. f (x) ∈ C (a) ⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. Пусть ε = f (a).
Математический анализ, Лекция 2.5
5 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
Доказательство Рассмотрим случай f (a) > 0. f (x) ∈ C (a) ⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. Пусть ε = f (a). Тогда
Математический анализ, Лекция 2.5
5 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
Доказательство Рассмотрим случай f (a) > 0. f (x) ∈ C (a) ⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. Пусть ε = f (a). Тогда ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < f (a).
Математический анализ, Лекция 2.5
5 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
⇒ −f (a) < f (x) − f (a) < f (a)
Математический анализ, Лекция 2.5
6 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
⇒ −f (a) < f (x) − f (a) < f (a) ⇒ 0 < f (x) < 2f (a).
Математический анализ, Лекция 2.5
6 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
⇒ −f (a) < f (x) − f (a) < f (a) ⇒ 0 < f (x) < 2f (a). ⇒ ∃U(a), в которой f (x) > 0,
Математический анализ, Лекция 2.5
6 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
⇒ −f (a) < f (x) − f (a) < f (a) ⇒ 0 < f (x) < 2f (a). ⇒ ∃U(a), в которой f (x) > 0, т.е. функция сохраняет свой знак.
Математический анализ, Лекция 2.5
6 / 17
Свойства функций, непрерывных в точке
⇒ −f (a) < f (x) − f (a) < f (a) ⇒ 0 < f (x) < 2f (a). ⇒ ∃U(a), в которой f (x) > 0, т.е. функция сохраняет свой знак. Аналогично доказывается для f (a) < 0.
Математический анализ, Лекция 2.5
6 / 17
Непрерывность функции на промежутке
Математический анализ, Лекция 2.5
7 / 17
Непрерывность функции на промежутке
Определение Функция, определенная на отрезке [a, b] и непрерывная в каждой его точке, называется непрерывной на этом отрезке.
Математический анализ, Лекция 2.5
7 / 17
Непрерывность функции на промежутке
Определение Функция, определенная на отрезке [a, b] и непрерывная в каждой его точке, называется непрерывной на этом отрезке. Обозначение: f (x) ∈ C [a, b]
Математический анализ, Лекция 2.5
7 / 17
Непрерывность функции на промежутке
Теорема (теорема Вейерштрасса)
Математический анализ, Лекция 2.5
8 / 17
Непрерывность функции на промежутке
Теорема (теорема Вейерштрасса) Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена на этом отрезке и достигает на нем своих точной верхней и точной нижней граней.
Математический анализ, Лекция 2.5
8 / 17
Непрерывность функции на промежутке Математическая формулировка теоремы:
Математический анализ, Лекция 2.5
9 / 17
Непрерывность функции на промежутке Математическая формулировка теоремы: f (x) ∈ C [a, b] ⇒ ∃x 0, x 00 ∈ [a, b]: sup f (x) = f (x 0), [a,b]
inf f (x) = f (x 00), [a,b]
∀x ∈ [a, b] : f (x 00) ≤ f (x) ≤ f (x 0). Математический анализ, Лекция 2.5
9 / 17
Непрерывность функции на промежутке
Теорема (теорема Больцано-Коши о промежуточном значении непрерывной функции)
Математический анализ, Лекция 2.5
10 / 17
Непрерывность функции на промежутке
Теорема (теорема Больцано-Коши о промежуточном значении непрерывной функции) Если f (x) ∈ C [a, b], f (a) = A, f (b) = B, то ∀C , A < C < B ∃c ∈ [a, b]: f (c) = C .
Математический анализ, Лекция 2.5
10 / 17
Непрерывность функции на промежутке
Теорема (о непрерывности обратной функции)
Математический анализ, Лекция 2.5
11 / 17
Непрерывность функции на промежутке
Теорема (о непрерывности обратной функции) Пусть функция f (x) определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке [a, b], тогда обратная функция f −1 определена, однозначна, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке с концами в точках f (a) и f (b).
Математический анализ, Лекция 2.5
11 / 17
Асимптоты графика функции
Математический анализ, Лекция 2.5
12 / 17
Асимптоты графика функции Определение Пусть функция f (x) определена для всех x > a (или x < a). Если существуют такие числа k и l , что функция f (x) − kx − l является бесконечно малой при x → +∞ (или x → −∞), то прямая y = kx + l называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞ (или x → −∞). Математический анализ, Лекция 2.5
12 / 17
Асимптоты графика функции
Графически асимптота является прямой, расстояние до которой от графика функции стремится к нулю.
Математический анализ, Лекция 2.5
13 / 17
Асимптоты графика функции
Рис. : Левая наклонная асимптота Математический анализ, Лекция 2.5
14 / 17
Асимптоты графика функции
Рис. : Правая наклонная асимптота Математический анализ, Лекция 2.5
15 / 17
Асимптоты графика функции Коэффициенты наклонных асимптот находят по формулам:
Математический анализ, Лекция 2.5
16 / 17
Асимптоты графика функции Коэффициенты наклонных асимптот находят по формулам: f (x) , x→±∞ x
k = lim
Математический анализ, Лекция 2.5
16 / 17
Асимптоты графика функции Коэффициенты наклонных асимптот находят по формулам: f (x) , x→±∞ x
k = lim
l = lim (f (x) − kx). x→±∞
Математический анализ, Лекция 2.5
16 / 17
Асимптоты графика функции Коэффициенты наклонных асимптот находят по формулам: f (x) , x→±∞ x
k = lim
l = lim (f (x) − kx). x→±∞
Если хотя бы один из коэффициентов k и l равен бесконечности, то функция не имеет соответствующей наклонной асимптоты. Математический анализ, Лекция 2.5
16 / 17
Асимптоты графика функции Определение Пусть функция f (x) определена в некоторой проколотой окрестности точки a, и пусть выполняется хотя бы одно из условий lim f (x) = ∞,
x→a−0
lim f (x) = ∞.
x→a+0
Тогда прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x). Математический анализ, Лекция 2.5
17 / 17
