Московский Государственный Технический Университет им. Баумана Факультет “Фундаментальные науки” Кафедра “Высшая математика”
Математический анализ Лекция 2.4 к.ф.-м.н. Семакин А.Н.
Математический анализ, Лекция 2.4
1 / 32
Непрерывность функции
Математический анализ, Лекция 2.4
2 / 32
Непрерывность функции
Определение Функция f (x), определенная в некоторой окрестности U(a) точки a, называется непрерывной в этой точке, если lim f (x) = f (a).
x→a
Математический анализ, Лекция 2.4
2 / 32
Непрерывность функции
Эквивалентное определение Функция f (x), определенная в некоторой окрестности U(a) точки a, называется непрерывной в этой точке, если ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε.
Математический анализ, Лекция 2.4
3 / 32
Непрерывность функции
Обозначение: f (x) ∈ C (a)
Математический анализ, Лекция 2.4
4 / 32
Непрерывность функции
Обозначение: f (x) ∈ C (a)- функция f (x) непрерывна в точке a.
Математический анализ, Лекция 2.4
4 / 32
Непрерывность функции
Обозначение: f (x) ∈ C (a)- функция f (x) непрерывна в точке a. Замечание
Математический анализ, Лекция 2.4
4 / 32
Непрерывность функции
Обозначение: f (x) ∈ C (a)- функция f (x) непрерывна в точке a. Замечание Непрерывность функции предполагает, что эта функция определена в некоторой окрестности точки a, включая саму точку a.
Математический анализ, Лекция 2.4
4 / 32
Непрерывность функции Геометрическая интерпретация
Математический анализ, Лекция 2.4
5 / 32
Непрерывность функции Геометрическая интерпретация Графически непрерывность функции в точке a означает, что ее график в окрестности точки a представляет собой сплошную линию, которая не претерпевает каких-либо разрывов при переходе через саму точку a
Математический анализ, Лекция 2.4
5 / 32
Непрерывность функции Геометрическая интерпретация
Рис. : Непрерывность функции в точке a Математический анализ, Лекция 2.4
6 / 32
Непрерывность функции
⇔ - знак равносильности и эквивалентности.
Математический анализ, Лекция 2.4
7 / 32
Непрерывность функции
⇔ - знак равносильности и эквивалентности. Если этот знак присутствует в тексте определений и теорем, то он часто читается как
Математический анализ, Лекция 2.4
7 / 32
Непрерывность функции
⇔ - знак равносильности и эквивалентности. Если этот знак присутствует в тексте определений и теорем, то он часто читается как 1) необходимо и достаточно,
Математический анализ, Лекция 2.4
7 / 32
Непрерывность функции
⇔ - знак равносильности и эквивалентности. Если этот знак присутствует в тексте определений и теорем, то он часто читается как 1) необходимо и достаточно, 2) тогда и только тогда, когда.
Математический анализ, Лекция 2.4
7 / 32
Непрерывность функции
Пример:
Математический анализ, Лекция 2.4
8 / 32
Непрерывность функции
Пример: Выражение A ⇔ B читается как
Математический анализ, Лекция 2.4
8 / 32
Непрерывность функции
Пример: Выражение A ⇔ B читается как 1. Утверждение A справедливо тогда и только тогда, когда справедливо утверждение B.
Математический анализ, Лекция 2.4
8 / 32
Непрерывность функции
Пример: Выражение A ⇔ B читается как 1. Утверждение A справедливо тогда и только тогда, когда справедливо утверждение B. 2. Для справедливости утверждения A необходимо и достаточно справедливость утверждения B.
Математический анализ, Лекция 2.4
8 / 32
Непрерывность функции Запись A ⇔ B означает, что одновременно выполняются два условия:
Математический анализ, Лекция 2.4
9 / 32
Непрерывность функции Запись A ⇔ B означает, что одновременно выполняются два условия: 1) A ⇒ B - если справедливо A, то справедливо B (необходимость),
Математический анализ, Лекция 2.4
9 / 32
Непрерывность функции Запись A ⇔ B означает, что одновременно выполняются два условия: 1) A ⇒ B - если справедливо A, то справедливо B (необходимость), 2) A ⇐ B - если справедливо B, то справедливо A (достаточность).
Математический анализ, Лекция 2.4
9 / 32
Непрерывность функции Запись A ⇔ B означает, что одновременно выполняются два условия: 1) A ⇒ B - если справедливо A, то справедливо B (необходимость), 2) A ⇐ B - если справедливо B, то справедливо A (достаточность). Другими словами, утверждения A и B справедливы или нет одновременно. Математический анализ, Лекция 2.4
9 / 32
Непрерывность функции
Введем обозначения:
Математический анализ, Лекция 2.4
10 / 32
Непрерывность функции
Введем обозначения: ∆x = x − a - приращение аргумента,
Математический анализ, Лекция 2.4
10 / 32
Непрерывность функции
Введем обозначения: ∆x = x − a - приращение аргумента, ∆f = f (a + ∆x) − f (a) - приращение функции в точке a.
Математический анализ, Лекция 2.4
10 / 32
Непрерывность функции
Теорема (необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке)*
Математический анализ, Лекция 2.4
11 / 32
Непрерывность функции
Теорема (необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке)* f (x) ∈ C (a) ⇔ lim ∆f = 0. ∆x→0
Математический анализ, Лекция 2.4
11 / 32
Непрерывность функции
Расшифровка математической записи:
Математический анализ, Лекция 2.4
12 / 32
Непрерывность функции
Расшифровка математической записи: f (x) ∈ C (a) - для того чтобы функция f (x) была непрерывна в точке a
Математический анализ, Лекция 2.4
12 / 32
Непрерывность функции
Расшифровка математической записи: f (x) ∈ C (a) - для того чтобы функция f (x) была непрерывна в точке a ⇔ - необходимо и достаточно, чтобы
Математический анализ, Лекция 2.4
12 / 32
Непрерывность функции
Расшифровка математической записи: f (x) ∈ C (a) - для того чтобы функция f (x) была непрерывна в точке a ⇔ - необходимо и достаточно, чтобы lim ∆f = 0 - предел приращения функции ∆x→0 равнялся нулю при стремлении к нулю приращения аргумента
Математический анализ, Лекция 2.4
12 / 32
Непрерывность функции
Доказательство
Математический анализ, Лекция 2.4
13 / 32
Непрерывность функции
Доказательство 1) необходимость
Математический анализ, Лекция 2.4
13 / 32
Непрерывность функции
Доказательство 1) необходимость Дано: f (x) ∈ C (a)
Математический анализ, Лекция 2.4
13 / 32
Непрерывность функции
Доказательство 1) необходимость Дано: f (x) ∈ C (a) Доказать: lim ∆f = 0 ∆x→0
Математический анализ, Лекция 2.4
13 / 32
Непрерывность функции
f (x) ∈ C (a)
Математический анализ, Лекция 2.4
14 / 32
Непрерывность функции
f (x) ∈ C (a) ⇒
Математический анализ, Лекция 2.4
14 / 32
Непрерывность функции
f (x) ∈ C (a) ⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε.
Математический анализ, Лекция 2.4
14 / 32
Непрерывность функции
f (x) ∈ C (a) ⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. ∆x = x − a
Математический анализ, Лекция 2.4
14 / 32
Непрерывность функции
f (x) ∈ C (a) ⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. ∆x = x − a ⇒
Математический анализ, Лекция 2.4
14 / 32
Непрерывность функции
f (x) ∈ C (a) ⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. ∆x = x − a ⇒ x = a + ∆x
Математический анализ, Лекция 2.4
14 / 32
Непрерывность функции
f (x) ∈ C (a) ⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. ∆x = x − a ⇒ x = a + ∆x ⇒
Математический анализ, Лекция 2.4
14 / 32
Непрерывность функции
f (x) ∈ C (a) ⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. ∆x = x − a ⇒ x = a + ∆x ⇒ f (x) − f (a) =
Математический анализ, Лекция 2.4
14 / 32
Непрерывность функции
f (x) ∈ C (a) ⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. ∆x = x − a ⇒ x = a + ∆x ⇒ f (x) − f (a) = f (a + ∆x) − f (a) =
Математический анализ, Лекция 2.4
14 / 32
Непрерывность функции
f (x) ∈ C (a) ⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. ∆x = x − a ⇒ x = a + ∆x ⇒ f (x) − f (a) = f (a + ∆x) − f (a) = ∆f .
Математический анализ, Лекция 2.4
14 / 32
Непрерывность функции
Тогда условие непрерывности функции в точке можно переписать в виде:
Математический анализ, Лекция 2.4
15 / 32
Непрерывность функции
Тогда условие непрерывности функции в точке можно переписать в виде: ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀∆x ∈ R, |∆x| < δ: |∆f | < ε.
Математический анализ, Лекция 2.4
15 / 32
Непрерывность функции
Тогда условие непрерывности функции в точке можно переписать в виде: ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀∆x ∈ R, |∆x| < δ: |∆f | < ε. Это означает, что lim ∆f = 0. ∆x→0
Математический анализ, Лекция 2.4
15 / 32
Непрерывность функции
2) достаточность
Математический анализ, Лекция 2.4
16 / 32
Непрерывность функции
2) достаточность Дано: lim ∆f = 0 ∆x→0
Математический анализ, Лекция 2.4
16 / 32
Непрерывность функции
2) достаточность Дано: lim ∆f = 0 ∆x→0
Доказать: f (x) ∈ C (a)
Математический анализ, Лекция 2.4
16 / 32
Непрерывность функции lim ∆f = 0
∆x→0
Математический анализ, Лекция 2.4
17 / 32
Непрерывность функции lim ∆f = 0 ⇒
∆x→0
Математический анализ, Лекция 2.4
17 / 32
Непрерывность функции lim ∆f = 0 ⇒
∆x→0
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀∆x ∈ R, |∆x| < δ: |∆f | < ε.
Математический анализ, Лекция 2.4
17 / 32
Непрерывность функции lim ∆f = 0 ⇒
∆x→0
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀∆x ∈ R, |∆x| < δ: |∆f | < ε. Так как
Математический анализ, Лекция 2.4
17 / 32
Непрерывность функции lim ∆f = 0 ⇒
∆x→0
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀∆x ∈ R, |∆x| < δ: |∆f | < ε. Так как ∆x = x−a,
Математический анализ, Лекция 2.4
17 / 32
Непрерывность функции lim ∆f = 0 ⇒
∆x→0
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀∆x ∈ R, |∆x| < δ: |∆f | < ε. Так как ∆x = x−a, ∆f = f (a+∆x)−f (a) =
Математический анализ, Лекция 2.4
17 / 32
Непрерывность функции lim ∆f = 0 ⇒
∆x→0
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀∆x ∈ R, |∆x| < δ: |∆f | < ε. Так как ∆x = x−a, ∆f = f (a+∆x)−f (a) = f (x)−f (a),
Математический анализ, Лекция 2.4
17 / 32
Непрерывность функции lim ∆f = 0 ⇒
∆x→0
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀∆x ∈ R, |∆x| < δ: |∆f | < ε. Так как ∆x = x−a, ∆f = f (a+∆x)−f (a) = f (x)−f (a), то
Математический анализ, Лекция 2.4
17 / 32
Непрерывность функции lim ∆f = 0 ⇒
∆x→0
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀∆x ∈ R, |∆x| < δ: |∆f | < ε. Так как ∆x = x−a, ∆f = f (a+∆x)−f (a) = f (x)−f (a), то ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. Математический анализ, Лекция 2.4
17 / 32
Непрерывность функции lim ∆f = 0 ⇒
∆x→0
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀∆x ∈ R, |∆x| < δ: |∆f | < ε. Так как ∆x = x−a, ∆f = f (a+∆x)−f (a) = f (x)−f (a), то ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x ∈ R, |x − a| < δ: |f (x) − f (a)| < ε. ⇒ f (x) ∈ C (a). Математический анализ, Лекция 2.4
17 / 32
Односторонняя непрерывность
Математический анализ, Лекция 2.4
18 / 32
Односторонняя непрерывность
Определение Пусть функция f (x) определена на полуинтервале (a, c]. Функция f (x) называется непрерывной слева в точке c, если lim f (x) = f (c).
x→c−0
Математический анализ, Лекция 2.4
18 / 32
Односторонняя непрерывность
Определение Пусть функция f (x) определена на полуинтервале [c, b). Функция f (x) называется непрерывной справа в точке c, если lim f (x) = f (c).
x→c+0
Математический анализ, Лекция 2.4
19 / 32
Односторонняя непрерывность
Пример функции, непрерывной слева:
Математический анализ, Лекция 2.4
20 / 32
Односторонняя непрерывность
Пример функции, непрерывной слева:
Математический анализ, Лекция 2.4
20 / 32
Односторонняя непрерывность
Пример функции, непрерывной слева:
f (x) =
Математический анализ, Лекция 2.4
1, x ≤ c 2, x > c
20 / 32
Точки разрыва
Математический анализ, Лекция 2.4
21 / 32
Точки разрыва
Определение Точка a называется точкой разрыва функции f (x), если f (x) не определена в точке a или определена, но не является в ней непрерывной.
Математический анализ, Лекция 2.4
21 / 32
Точки разрыва Классификация точек разрыва
Математический анализ, Лекция 2.4
22 / 32
Точки разрыва Классификация точек разрыва 1. Если a - точка разрыва функции f (x) и существуют конечные пределы f (a − 0) = lim f (x), x→a−0
f (a + 0) = lim f (x), x→a+0
то точка a называется точкой разрыва первого рода. Математический анализ, Лекция 2.4
22 / 32
Точки разрыва Классификация точек разрыва 2. Если a - точка разрыва первого рода и f (a − 0) = f (a + 0), то a называется точкой устранимого разрыва.
Математический анализ, Лекция 2.4
23 / 32
Точки разрыва Классификация точек разрыва 3. Точка разрыва функции f (x), не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.
Математический анализ, Лекция 2.4
24 / 32
Точки разрыва Примеры:
Математический анализ, Лекция 2.4
25 / 32
Точки разрыва Примеры: 1) точка разрыва 1-ого рода
Математический анализ, Лекция 2.4
25 / 32
Точки разрыва Примеры: 1) точка разрыва 1-ого рода
Математический анализ, Лекция 2.4
25 / 32
Точки разрыва Примеры: 2) точка устранимого разрыва
Математический анализ, Лекция 2.4
26 / 32
Точки разрыва Примеры: 2) точка устранимого разрыва
Математический анализ, Лекция 2.4
26 / 32
Точки разрыва Примеры: 3) точка разрыва 2-ого рода
Математический анализ, Лекция 2.4
27 / 32
Точки разрыва Примеры: 3) точка разрыва 2-ого рода
Математический анализ, Лекция 2.4
27 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке
Математический анализ, Лекция 2.4
28 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема (арифметические свойства непрерывных функций)
Математический анализ, Лекция 2.4
28 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема (арифметические свойства непрерывных функций) Если f (x), g (x) ∈ C (a), то
Математический анализ, Лекция 2.4
28 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема (арифметические свойства непрерывных функций) Если f (x), g (x) ∈ C (a), то 1) f + g ∈ C (a)
Математический анализ, Лекция 2.4
28 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема (арифметические свойства непрерывных функций) Если f (x), g (x) ∈ C (a), то 1) f + g ∈ C (a) 2) f · g ∈ C (a)
Математический анализ, Лекция 2.4
28 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема (арифметические свойства непрерывных функций) Если f (x), g (x) ∈ C (a), то 1) f + g ∈ C (a) 2) f · g ∈ C (a) 3) f /g ∈ C (a), если g (a) 6= 0
Математический анализ, Лекция 2.4
28 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема (непрерывность сложной функции)
Математический анализ, Лекция 2.4
29 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема (непрерывность сложной функции) Если f (x) ∈ C (a) и g (y ) ∈ C (b), где b = f (a), то g (f (x)) ∈ C (a).
Математический анализ, Лекция 2.4
29 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема (непрерывность основных элементарных функций)*
Математический анализ, Лекция 2.4
30 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема (непрерывность основных элементарных функций)* Основные элементарные функции непрерывны всюду в их области определения.
Математический анализ, Лекция 2.4
30 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство для y = sin x
Математический анализ, Лекция 2.4
31 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство для y = sin x ∆f =
Математический анализ, Лекция 2.4
31 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство для y = sin x ∆f = f (x + ∆x) − f (x) =
Математический анализ, Лекция 2.4
31 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство для y = sin x ∆f = f (x + ∆x) − f (x) = sin(x + ∆x) − sin x =
Математический анализ, Лекция 2.4
31 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство для y = sin x ∆f = f (x + ∆x) − f (x) = sin(x + ∆x) − sin x = x + ∆x − x x + ∆x + x = 2 sin cos = 2 2
Математический анализ, Лекция 2.4
31 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство для y = sin x ∆f = f (x + ∆x) − f (x) = sin(x + ∆x) − sin x = x + ∆x − x x + ∆x + x = 2 sin cos = 2 2 ∆x ∆x = 2 sin cos(x + ). 2 2
Математический анализ, Лекция 2.4
31 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство для y = sin x ∆f = f (x + ∆x) − f (x) = sin(x + ∆x) − sin x = x + ∆x − x x + ∆x + x = 2 sin cos = 2 2 ∆x ∆x = 2 sin cos(x + ). 2 2 lim ∆f = ∆x→0
Математический анализ, Лекция 2.4
31 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство для y = sin x ∆f = f (x + ∆x) − f (x) = sin(x + ∆x) − sin x = x + ∆x − x x + ∆x + x = 2 sin cos = 2 2 ∆x ∆x = 2 sin cos(x + ). 2 2 ∆x ∆x cos(x + )= lim ∆f = lim 2 sin ∆x→0 ∆x→0 2 2
Математический анализ, Лекция 2.4
31 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство для y = sin x ∆f = f (x + ∆x) − f (x) = sin(x + ∆x) − sin x = x + ∆x − x x + ∆x + x = 2 sin cos = 2 2 ∆x ∆x = 2 sin cos(x + ). 2 2 ∆x ∆x cos(x + )= lim ∆f = lim 2 sin ∆x→0 ∆x→0 2 2 = 2 · 0 · cos x =
Математический анализ, Лекция 2.4
31 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство для y = sin x ∆f = f (x + ∆x) − f (x) = sin(x + ∆x) − sin x = x + ∆x − x x + ∆x + x = 2 sin cos = 2 2 ∆x ∆x = 2 sin cos(x + ). 2 2 ∆x ∆x cos(x + )= lim ∆f = lim 2 sin ∆x→0 ∆x→0 2 2 = 2 · 0 · cos x = 0.
Математический анализ, Лекция 2.4
31 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство для y = sin x ∆f = f (x + ∆x) − f (x) = sin(x + ∆x) − sin x = x + ∆x − x x + ∆x + x = 2 sin cos = 2 2 ∆x ∆x = 2 sin cos(x + ). 2 2 ∆x ∆x cos(x + )= lim ∆f = lim 2 sin ∆x→0 ∆x→0 2 2 = 2 · 0 · cos x = 0. ⇒ sin x ∈ C (x). Математический анализ, Лекция 2.4
31 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема (непрерывность элементарной функции)
Математический анализ, Лекция 2.4
32 / 32
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема (непрерывность элементарной функции) Любая элементарная функция непрерывна в любой точке области ее определения.
Математический анализ, Лекция 2.4
32 / 32
