1
2.6 Teorema Limit • TEOREMA A, Andaikan “n” adalah bilangan bulat positif, “k” adalah konstanta, dan “f” dan “g” adalah fungsi fungsi yang memiliki limit di “c”, maka: k=k 1. lim x →c 2.
lim x = c
3.
lim kf ( x) = k lim f ( x)
4.
lim[ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x)
x →c
x →c
x →c
x →c
x →c
x →c
5. lim[ f ( x) − g ( x)] = lim f ( x) − lim g ( x) x →c
x →c
x →c
6. lim[ f ( x) × g ( x)] = lim f ( x) × lim g ( x) x →c
7. lim x →c
x →c
x →c
f ( x) f ( x) lim asalkan lim g ( x) ≠ 0 = x →c x →c g ( x) lim g ( x) x →c
8. lim[ f ( x)] = [lim f ( x)]n n
x →c
x →c
9. lim f ( x) = n lim f ( x) , asalkan lim f ( x) > 0 jika “n” genap n
x →c
x →c
x →c
• Limit suatu jumlah adalah jumlah dari limit-limit
2.6 Teorema Limit
2
• Carilah
lim 2 x 4 x→3
lim 2 x = 2 lim x 4 = 2[lim x] 4 = 2[3] 4 = 162 4
x →3
• Carilah
(
x →3
x →3
(
)
lim 3 x 2 − 2 x x→4
)
( )
2
lim 3 x 2 − 2 x = lim 3x 2 − lim 2 x = 3 lim x 2 − 2 lim x = 3 lim x − 2 lim x = 3(4) 2 − 2(4) = 40 x→4
• Carilah
lim x→4
x→4
x→4
x→4
[
lim f ( x) = 4 x →3
x→4
x→4
x→4
x2 + 9 x
x2 + 9 x 2 + 9 lim x→4 lim = = x→4 x lim x
• Jika
x→4
]
dan
lim( x 2 + 9) x→4
4
lim g ( x) = 8 , x →3
=
1 1 lim x 2 + lim 9 = x→4 4 x→4 4
carilah
[
[
lim f 2 ( x) × 3 g ( x) x →3
]
[lim x] + 9 = 14 2
x→4
42 + 9 =
5 4
]
2
lim f 2 ( x) × 3 g ( x) = lim f 2 ( x) × lim 3 g ( x) = lim f ( x) × 3 lim g ( x) = [4] 2 × 3 8 = 32 x →3
x →3
x →3
x →3
x →3
• TEOREMA B, Jika “f” suatu polinom atau fungsi rasional, maka lim f ( x) = f (c) x →c
asalkan “f( c)” terdefinisi. Dalam kasus fungsi rasional nilai penyebut di “c” tidak nol.
2.6 Teorema Limit
3
7 x 5 − 10 x 4 − 13 x + 6 , penyelesaian nya: x→2 3x 2 − 6 x − 8 7 x 5 − 10 x 4 − 13x + 6 7(2) 5 − 10(2) 4 − 13(2) + 6 11 lim = =− 2 2 x→2 2 3x − 6 x − 8 3(2) − 6(2) − 8
• Cari
lim
• Carilah
lim x →1
x 3 + 3x + 7 x 3 + 3x + 7 = lim , x →1 x − 2x − 1 ( x − 1) 2
penyelesaian:
Baik Teorema B ataupun Teorema A tidak berlaku. Karena limit penyebut 0. Tetapi karena limit pembilang adalah 11, kita lihat bahwa selama “x” dekat dengan 1, kita membagi sebuah bilangan dekat dengan 11 dengan sebuah bilangan positif yang dekat dengan nol. Hasilnya sebuah bilangan positif yang besar. Kita katakan bahwa limit nya tidak ada (nanti kita katakan, limitnya +~) • Carilah
t 2 + 3t − 10 lim 2 , t →2 t + t − 6
penyelesaian:
Lagi, Teorema B tidak dapat diterapkan. Tetapi kali ini hasil bagi berbentuk 0/0 tanpa arti di t = 2. Kalau menemukan hal semacam ini, anda harus menyederhanakan hasil bagi tersebut secara aljabar (faktorisasi), sebelum mencoba mengambil limitnya lim t →2
t 2 + 3t − 10 t +5 7 (t − 2)(t + 5) = = lim = lim 2 t → 2 t → 2 t +3 5 (t − 2)(t + 3) t +t −6
2.6 Teorema Limit
4
• TEOREMA C, Teorema Apit Andaikan “f”, “g”, dan “h” adalah fungsi fungsi yang memenuhi f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua “x” dekat “c”, kecuali mungkin di “c”. f ( x) = lim h( x) = L , maka lim g ( x) = L Jika lim x →c x →c x →c • Anggap kita telah membuktikan 1-x2/6 ≤ (sin x)/x ≤ 1 untuk semua “x” yang dekat tapi berlainan dengan 0. sin x Sehingga, menurut teorema C, lim =1 x →0 x
2.6 Teorema Limit
Soal soal 2.6 Untuk soal 1 ~ 7, gunakan teorema A untuk mencari limit. 1. lim(2 x + 1) x →1
2. lim[(2 x + 1)( x − 3)] x →0
3.
lim [(2 x 2 + 1)(7 x 2 + 13)]
x→ 2
2x + 1 5 − 3x 5. lim 3x − 5
4. lim x→2 x →3
6. lim (2t 3 + 15)13 t → −2
⎛ 4y3 + 8y ⎞ ⎟⎟ 7. lim⎜⎜ y →2 ⎝ y+4 ⎠
1/ 3
Untuk soal 8~12, carilah limit yang ditunjuk atau nyatakan bahwa itu tidak ada x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 8. lim 3 x → −1 x + 4 x 2 − 19 x + 14 x2 + x − 2 9. lim x →1 x2 −1 u 2 − ux + 2u − 2 x 10. lim u → −2 u2 − u − 6 2 x 2 − 6 xπ + 4π 2 11. lim x →π x2 − π 2 ( w + 2)( w 2 − w − 6) 12. lim w→ −2 w 2 + 4w + 4 Jika lim f ( x) = 3 dan lim g ( x) = −1 , carilah: x→a
x→a
13. lim f ( x) + g 2 ( x) 2
x→a
14. lim 3 g ( x) [ f ( x) + 3] x→a
15. lim x→a
2 f ( x) − 3 g ( x) f ( x) + g ( x)
1
2.7 Limit melibatkan Fungsi Trigonometri • Teorema A, Limit Fungsi Trigonometri Untuk setiap bilangan real “c” dalam daerah asal fungsi sin t = sin c 2. lim cos t = cos c 1. lim t →c t →c 3.
lim tan t = tan c
4.
lim cot t = cot c
5.
lim sec t = sec c
6.
lim csc t = csc c
t →c t →c
t →c t →c
t 2 cos t , penyelesaian: t →0 t + 1 t 2 cos t ⎛ t2 ⎞ ⎟⎟ lim cos t = 0 × 1 = 0 lim = ⎜⎜ lim t →0 t + 1 ⎝ t →0 t + 1 ⎠ t →0
• Tentukanlah
lim
(
)
• Teorema B, Limit-limit trigonometri Khusus sin t 1 − cos t 1. lim =1 2. lim =0 t →0 t →0 t
2.7 Limit melibatkan Fungsi Trigonometri
t
2
• Tentukan
sin 3x , penyelesaian: x →0 x sin 3 x sin 3x sin 3x lim = lim 3 = 3 lim = 3 (disini x →0 x → 0 x → 0 x 3x 3x lim
dimisalkan y = 3x, maka
1 − cos t , penyelesaian: t →0 sin t 1 − cos t 1 − cos t lim 1 − cos t 0 t →0 t t lim = lim = = t →0 t → 0 t sin sin t sin t 1 lim t → 0 t t
• Tentukan,
• Tentukan
lim
sin 4 x , penyelesaian: tan x sin 4 x 4 sin 4 x 4 x sin 4 x 4 lim 4 sin 4 x x →0 4x 4x = lim = lim 4 x = = =4 lim x →0 tan x x →0 x →0 sin x sin x sin x ⎞⎛ 1 ⎞ 1× 1 ⎛ ⎜ lim ⎟⎜ lim ⎟ x cos x ⎝ x →0 x ⎠⎝ x →0 cos x ⎠ cos x lim x →0
2.7 Limit melibatkan Fungsi Trigonometri
lim y →0
sin y =1 ) y
Soal soal 2.7 1. lim x →0
2.
cos x x +1
lim θ cos θ
θ →π / 2
cos 2 t t → 0 1 + sin t
3. lim
3x tan x x →0 sin x
4. lim
5. lim
sin x 2x
6. lim
sin 3θ 2θ
x →0
θ →0
sin 3θ θ →0 tan θ
7. lim
tan 5θ θ →0 sin 2θ
8. lim
cot πθ × sin θ θ →0 2 secθ
9. lim
10. lim t →0
sin 2 3t 2t
tan 2 3t 11. lim t →0 2t 12. lim
sin(3t ) + 4t t × sec t
13. lim
tan 2t sin 2t − 1
t →0
t →0
