MATEMATIKA EKONOMI Barisan Dan Deret a. Deret Hitung (deret Aritmatika) b. Deret Ukur (deret geometri) c. Penerapan deret dalam ekonomi dan bisnis Persamaan a. Fungsi permintaan b. Fungsi penawaran c. Equilibrium d. Pajak e. Subsidi f. Elastisitas g. Penerapan Fungsi Kuadrat a. Fungsi permintaan b. Fungsi penawaran c. Equilibrium d. Pengarah pajak/subsidi terhadap equilibrium Diferensial -> penerapan Integral -> penerapan
Fendi Alfi Fauzi
Deret Ukur (deret Geometri) Deret ukur adalah susunan bilangan diantara 2 suku yang berurutan mempunyai rasio yang tetap. Rasio biasa dilambangkan dengan r 1,2,4,8,16,....n S1,S2,S3,S4,......Sn S1 = a = 1 r=2 S2 = ar = 1.2 = 2 S3 = ar2 = 1 . 22 = 4 S3 = ar3 = 1 . 23 = 8 Jadi Sn = arn-1 => suku ke-n deret geometri Sn = arn-1
a (1 r n ) Dn 1 r
r
Sn S n 1
Contoh : Suku ke-3 deret ukur adalah 800. Suku ke-7 adalah 204.800. cari a, r, dan jumlah nilai deret suku ke-5 ! Jawab. Diketahui : S3=800, S7 = 204.800 Ditanyakan : a, r, dan D5 ? Jawaban : Sn = arn-1 800 = ar2 a
800 r2
204.800 = ar6 204.800 =
800 6 xr r2
204.800 = 800 r4 r4 =
204.800 800
Fendi Alfi Fauzi
r4 = 256 r=
4
256 = 4
800 r2 ar 2 800 a
a .16 800 800 16 a 50 a
a (1 r 5 ) 1 r 50(1 4 5 ) 1 4 50(1 1024) 3 50 51200 3 51150 3 17050
D5
Penerapan Deret Ukur Bunga majemuk adalah tingkat bunga yang harus dibayar selain dikenakan pada bunga pinjaman juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan pada periode yang bersangkutan. Misalnya seseorang pemilik modal atau tabungan di bank sebesar P rupiah dibungakan sebesar i % per tahun. Maka setelah satu tahun ia akan mendapatkan bunga sebesar p x i. Modal = P x Pi = P(1+i) Setelah dua tahun => Bunga = P(1+i)i Modal = P(1+i) + P(1+i)i = P+Pi+Pi+Pi2 = P+2Pi+pi2 = P(1+2i+i2) = P(1+i)2
Fendi Alfi Fauzi
= P(1+i)10
Tahun ke-10
Pn= P0(1+i)n dengan P0 adalah modal awal
Tahun ke-n
Jadi, jumlah uang pada tahun ke-n adalah
Pn= P0(1+i)n
Jika bunga yang diberikan bukan pertahun, misalkan per semester, maka rumus tersebut menjadi,
Pn P0 (1
i mn ) m
Contoh : 1. Fendy membeli sebuah TV berwarna merek LG, secara kredit selam 36 bulan seharga Rp 800.000 yang dibungakan sebesar 12 % per tahun. Ada 2 alternatif pembayaran bunga yaitu setiap semester atau setiap 3 bulan. Mana yang lebih menguntungkan bagi Fendy ? Jawaban : Diketahui : P0 = 800.000 i = 12% per tahun n = 3 tahun ditanyakan : a. m = 2 b. m = 4 jawab : a.
i mn ) m 0,12 2.3 800.000(1 ) 2 6 800.0001,6
Pn = P0 ( 1
800.000 x 1,418519 1.134.815
b.
0,12 2.3 ) 4 6 800.0001,03 800.000 x 1,425761
Pn 800.000(1
1.140.609
Jadi, yang lebih menguntungkan adalah pembayaran yang satu semester.
Fendi Alfi Fauzi
2. Apabila anda menginginkan uang anda menjadi 2.415.765 pada 5 tahun yang akan datang, berapakah anda harus menabung saat ini seandainya diberikan bunga sebesar 10% per tahun ? Jawaban : Diketahui : P5 = 2.415.765 dan i = 10% atau 0,1 Ditanyakan : P0 = ? Jawaban : P5 = P0(1+i)5 2.415.765 = P0(1+0,1)5 2.415.766 = P0(1,1)5 2.415.767 = 1,61051 P0
2.415.766 1,61051
P0
=
P0
= 1.500.000
Pertambahan Penduduk
Pn P0 (1 r ) n
dengan r = rasio pertambahan penduduk
Contoh : Jika diketahui jumlah penduduk gorontalo pada tahun 1998 berjumlah 2.000.000 jiwa, dengan tingkat pertumbuhan 2,5 % per tahun, berapakah : a. Jumlah penduduk kota pada tahun 2010 ? b. Seandainya pada tahun 2010 jjmlah penduduk kota mencapai 3 juta jiwa, berapakah tingkat pertumbuhannya ? Penyelesaian : Diketahui : P0 = 2.000.000, r = 2,5% atau 0,025 dan n = 1998-1020 = 12 tahun Ditanya : a. P12 = ? b. r pada saat P12 = 3.000.000 ? Jawaban :
Fendi Alfi Fauzi
a.
Pn P0 (1 r ) n 2.000.000 1 0,025
12
2.000.000 1,025 2.000.000 x 1,348888 2.689.778 jiwa 12
b.
Pn P0 (1 r ) n 3.000.000 2.000.000 (1 r )12 3.000.000 (1 r )12 2.000.000 12 (1 r ) 1,5 1 r
12 1,5
1 r
1,034366
r r
1,034366 1 0,034366
r
3,44 %
Jadi, tingkat pertumbuhannya adalah 3,44% per tahun
Fendi Alfi Fauzi
