II Workshop da Matem´ atica e Matem´ atica Aplicada
Ouro Branco – MG, 2017
O Teorema Fundamental das Curvas Planas e Aplica¸c˜ oes Mariana de Oliveira Louren¸co Fernando Louren¸co
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Resumo: O estudo da Geometria Diferencial consiste no estudo da geometria por t´ecnicas do c´alculo. Neste aˆmbito, a geometria diferencial de curvas, consiste na an´alise do comportamento das curvas, suas propriedades e caracter´ısticas. Ao estudarmos as curvas parametrizadas, ↵ : I ⇢ R ! R2 de classe C 1 , isto ´e, infinitamente difereci´aveis, sempre podemos obter sua parametriza¸c˜ao pelo comprimento do arco. Sendo assim, podemos definir uma base ortonormal {t(s), n(s)}, onde n(s) e t(s) = ↵0 (s) s˜ao o vetor normal e o vetor tangente, respectivamente, `a curva ↵ em cada ponto ↵(s). A partir dessa base, chamada Diedro de Frenet, podemos relacionar os vetores t(s) e n(s) com uma fun¸c˜ao k : I ! R definida como a curvatura da curva ↵, onde k(s) = h↵00 (s), n(s)i. O Teorema Fundamental das Curvas Planas permite que, dada uma fun¸ca˜o qualquer k : I ! R, seja poss´ıvel determinar uma u ´nica curva parametrizada pelo comprimento do arco quando fixados s0 2 I, ↵(s0 ) = p0 , ↵0 (s0 ) = v0 e k↵(s) = k(s), s 2 I, onde v0 ´e um vetor unit´ario. Al´em disso, duas curvas ↵, , parametrizadas pelo comprimento do arco com mesma curvatura, diferem por um movimento r´ıgido, isto ´e, uma transla¸ca˜o e/ou uma rota¸c˜ao no plano. A partir desse resultado podemos concluir que ´e poss´ıvel reconstruir uma curva pela sua curvatura, ou seja, a curvatura determina a curva plana, a menos de sua localiza¸ca˜o no plano. Por exemplo, temos condi¸c˜oes de caracterizar todas as curvas planas com curvatura constante. Esse ´e um trabalho que se encontra em andamento, onde alguns objetivos s˜ao estudar o teorema de Gauss-Bonnet em superf´ıcies e o Teorema da curvatura ´ıntegra em variedades suaves. 37
Aluno de Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica - Licenciatura, Universidade Federal de Lavras - UFla,
[email protected] 38 Professor orientador, Departamento de Ciˆencias Exatas - DEX/UFLA,
[email protected]
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Referˆ encias [1] Frensel K, Delgado J. Notas de Geometria diferencial, UFF-2008. [2] Do Carmo, M. P., Geometria Diferencial das Curvas e Superf´ıcies, SBM (2005).
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