II Workshop da Matem´ atica e Matem´ atica Aplicada
Ouro Branco – MG, 2017
Desembara¸camento espectral: um m´ etodo para obter espectros individuais em estrelas em sistemas ligados gravitacionalmente Kelly B. V. T. Dozinel 14
Resumo: Numa vis˜ao mais ampla, a determina¸c˜ao dos elementos da ´orbita e composi¸c˜ao qu´ımica de estrelas em sistemas m´ ultiplos (ligados gravitacionalmente) fornecem elementos contribuintes para o estudo de forma¸ca˜o e evolu¸c˜ao estelar. A determina¸c˜ao das amplitudes das velocidades radiais, por exemplo, ´e importante para obten¸ca˜o da massa de estrelas. O estudo de espectros estelares, por outro lado, fornecem elementos essenciais para determina¸c˜ao de temperatura efetiva, gravidade e composi¸c˜ao qu´ımica estelar. O m´etodo de desembara¸camento espectral, introduzida por [?], permite que os elementos orbitais e espectros das estrelas componentes sejam obtidos simultˆaneamente de forma autoconsistente e independente. O m´etodo considera o espectro composto observado como uma soma ponderada dos espectros individuais das componentes, sup˜oem que as contribui¸c˜oes em luz das componentes n˜ao variem com o tempo e que as u ´nicas varia¸co˜es permitidas consiste na posi¸c˜ao das linhas espectrai em rela¸ca˜o ao comprimento de onda (efeito Doppler devido ao movimento orbital). Matematicamente falando, consiste na solu¸c˜ao da equa¸c˜ao matricial sobre–determinada Ax = b, onde A cont´em os elementos correspondentes aos desvios Doppler de cada estrela, x os espectros compostos das componentes, e b os espectros compostos observados, todos concatenados. Os parˆametros orbitais s˜ao determinados pela minimiza¸ca˜o do 2 dos res´ıduos entre os espectros observados e o modelo reconstru´ıdo, enquanto que o problema ´e linear com rela¸ca˜o `as intensidades das componentes. Posteriormente, [?] prop˜oe o m´etodo de desembara¸camento espectral baseado na transformada r´apida de Fourier, desenvolvendo o seu c´odigo KOREL. Neste m´etodo, um elegante sistema de equa¸co˜es lineares ´e formado ao aplicar a transformada de Fourier no espectro composto, considerado-o como convolu¸co˜es dos espectros individuais das componentes. Trata-se de um grande avan¸co em termos do tempo computacional, que ´e enormemente reduzido, em compara¸c˜ao a`quela desenvolvida por Simon & Sturm (velocidades), em virtude da diminui¸ca˜o do n´ umero de equa¸co˜es a serem resolvidas. Este m´etodo tem provado suas potencialidade e os espectros resconstru´ıdos (puramente matem´atico) retrata muito bem casos reais de estrelas de mesmo tipo espectral [?]. Podemos citar ainda, a reconstru¸ca˜o de espectros de estrelas muito fracas, como o caso do sistema triplo eclipsante RV Crateris, onde a componente secund´aria do par eclipsante contribui com apenas 9% da luz total do sistema (Fig. 1), representando um grande avan¸co nos estudos anteriores que evidenciaram dificuldades na determina¸c˜ao das amplitudes da velocidade radial da componente mais fraca, usando a t´ecnica de correla¸ca˜o cruzada. 14 Universidade Federal de S˜ ao Jo˜ ao del-Rei,
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Figura 1: Espectros de RV Crateris reconstru´ıdos pelo c´odigo KOREL.
O estudo realizado por [?] relata que o m´etodo de desembara¸camento espectral ressalta as imperfei¸c˜oes cometidas durante o tratamento dos dados espectrosc´opicos, fase anterior necess´aria para a aplica¸ca˜o do m´etodo. Como ´e o caso exemplificado pelo sistema RV Crateris onde um erro da ordem de 0,1% na determina¸c˜ao do n´ıvel do cont´ınuo das trˆes componentes leva `a ondula¸co˜es sobrepostas ao cont´ınuo do espectro da componente mais fraca (a estrela secund´aria), vide Fig. 1. A partir da an´alise das equa¸c˜oes de separa¸c˜ao no espa¸co de Fourier as singularidades nas equa¸c˜oes ocorrem quando o determinante da matriz A ´e nulo. Isto ocorre quando (a) as observa¸co˜es s˜ao distribu´ıdas em passos constantes em fase orbital, ao contr´ario do que ´e favor´avel: a distribui¸ca˜o das observa¸co˜es em passos constantes em velocidade; (b) as contribui¸co˜es relativas em luz das estrelas componentes s˜ao contantes no tempo, levando a indetermina¸ca˜o do modo zero de frequˆencia de Fourier (que representa a posi¸ca˜o do n´ıvel do cont´ınuo dos espectros reconstruidos). Nestes casos, prova-se que espectros obtidos em fases de elipses totais s˜ao u ´teis. Por´em, os de eclipses parciais poderiam ser usados exclusivamente para extrair a solu¸ca˜o fisicamente correta para as componentes espectrais de baixa frequˆencia, desconsiderando-as para os modos de Fourier mais elevados; (c) a decomposi¸c˜ao de valor singular (DVS) ´e requerido para tratar sistemas singulares ou quasi-singulares conduzindo a` solu¸ca˜o mais correta matematicamente, no entanto, essa n˜ao deve ser considerada como a u ´nica solu¸ca˜o. Para os casos (b) e (c) conhecimentos externos de f´ısica para espectros de estrelas isoladas, como janelas de cont´ınuo, abundˆancias de linhas fortes e fracas consistentes para um mesmo elemento qu´ımico e requerimento de que o espectro n˜ao tenha intensidades negativas, podem indicar uma outra solu¸ca˜o matematicamente aceit´avel pelo DVS e possibilitar a determina¸ca˜o do n´ıvel zero do cont´ınuo.
Referˆ encias [1994] Simon, K. P., & Sturm, E. 1994, A&A 281, 286 [1995] Hadrava, P. 1995, A&AS 114, 393
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