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Longitudinal  beta  is  given  by1:   τη τη 1   βL = = − ;γ L = 2 2 2 π ES β ν s eV0ω rf ES β cos ϕ s βL   The  bucket  ...

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Longitudinal  beta  is  given  by1:   τη τη 1   βL = = − ;γ L = 2 2 2 π ES β ν s eV0ω rf ES β cos ϕ s βL   The  bucket  equation  is  given  by2    

%π ( 1− ' − ϕ s * tan ϕ s &2 ) ΔEb = 2   ω rf β L   3 For  coasting  beam,  this  becomes    

2 4eV0 Es β 2 2eV0 Es β 2 ΔEb = = = ω rf β L τ η ω rf τ η frf π    

The  required  voltage  will  then  be  given  by     2

! 1 $ ( ΔEb ) τ η frf π V0 = # & "e% 2Es β 2 2

! 1 $ ( ΔEb ) C η frf π =# & "e% 2cEs β 3

 

2

! 1 $ ( ΔEb ) η hπ =# & " e % 2Es β 2

                                                                                                                1  From  my  USPAS  Longitudinal  Motion  Lecture,   http://home.fnal.gov/~prebys/misc/uspas_2014/08-­‐ Longitudinal%20Motion%201.pptx,  p.  8   2  ibid.  p.  12   3  You  can  also  get  this  from  Chao  and  Tigner,  “Accelerator  Physics”,    2.1.2,  eq.  12,  by   plugging  in  φ=φs=0  and  rearranging  some  terms.