amanda

II Workshop da Matem´ atica e Matem´ atica Aplicada

Ouro Branco – MG, 2017

˜ DO METODO ´ APLICAC ¸ AO DA TRANSFORMADA DIFERENCIAL NA ENGENHARIA CIVIL Amanda Caldeira de Oliveira 19

Keitiane F´atima Coimbra Lilian Agda de Oliveira

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Alexandre Celestino Leite Almeida22

Resumo: A viga ´e um elemento estrutural muito utilizado na Engenharia Civil. Quando estas estruturas est˜ao em equil´ıbrio est´avel, e sobre elas s˜ao aplicadas for¸cas externas perpendiculares ` medida em se distanciam dessa ao eixo, as mesmas se deslocam da posi¸c˜ao de equil´ıbrio. A posi¸ca˜o, surgir´a uma for¸ca restauradora que far´a com que o corpo oscile. Essa oscila¸c˜ao faz com que a viga vibre, uma vez que o ato de vibrar ´e todo e qualquer movimento de um corpo que se repita, em torno de sua posi¸ca˜o de equil´ıbrio, em certo intervalo de tempo. Com o intuito de prever o comportamento do sistema submetido a esfor¸cos, obtendo as frequˆencias naturais do mesmo, utilizou-se a modelagem matem´atica a partir do modelo de viga de Euller-Bernoulli engastada e as condi¸c˜oes de contorno da mesma. A Equa¸c˜ao 1 mostra a equa¸ca˜o governante do movimento da viga: ✓ ◆ @2 @ 2 w(x, t) @ 2 w(x, t) EI(x) + ⇢A(x) =0 (1) @x2 @x2 @t2 Onde E, ⇢, w(x, t), I(x) e A(x) s˜ao respectivamente o m´odulo de Young, massa espec´ıfica, deslocamento, momento de in´ercia e ´area da se¸c˜ao transversal ao longo do eixo longitudinal da viga. Dessa forma, para determinar as frequˆencias naturais da viga de uma forma mais simples, aplicou-se o di↵erential transformation method (DTM). Este ´e um m´etodo que tem por objetivo transformar uma equa¸ca˜o diferencial, com base na expans˜ao em s´erie de Taylor, em um conjunto de equa¸co˜es alg´ebricas com solu¸c˜oes anal´ıticas. A transformada de uma equa¸c˜ao diferencial, segundo o DTM, pode ser obtida pela representa¸ca˜o da mesma em uma s´erie de potˆencia centralizada em x0 como pode ser observado mais adiante pela defini¸c˜ao. 19

Aluno de EngenhRI Civil, Universidade Federal de S˜ ao Jo˜ ao Del-Rei - UFSJ, [email protected] 20 Aluno de EngenhRI Civil, Universidade Federal de S˜ ao Jo˜ ao Del-Rei - UFSJ, [email protected] 21 Aluno de EngenhRI Civil, Universidade Federal de S˜ ao Jo˜ ao Del-Rei - UFSJ, [email protected] 22 Professor orientador, Departamento de F´ısica e Matem´ atica DEFIM/UFSJ, [email protected]

Seja uma fun¸c˜ao f (x), sua transformada F [k] ´e dada por:  1 @ K F (x) F [k] = k! @xK x=x0

(2)

A transformada inversa da Eq. (2), ou seja a equa¸c˜ao original f (x) pode ser escrita em fun¸ca˜o de F [k], como se segue: f (x) =

1 X

(x

x0 )k F [k]

(3)

k=0

Na pr´atica essa fun¸c˜ao ´e aproximada pela expans˜ao em s´erie de Taylor com numero finito de termos (4), onde N ´e determinado com a convergˆencia da frequˆencia natural.  N X xk @ K F (x) f (x) = k! @xK k=0

(4) x=x0

Em engenharia, como solu¸c˜ao de problemas que envolvem vibra¸co˜es de vigas, utilizase, comumente, a Equa¸ca˜o (4) centrada em zero, x0 = 0, de forma a tornar a aplica¸ca˜o e c´alculo das frequˆencias, mais simplificada e de f´acil resolu¸ca˜o. Por´em, ao estudar a aplica¸ca˜o em vigas com se¸ca˜o transversal variando em dois planos, cuja varia¸c˜ao ´e dada por ↵ = h1 /h0  1 , percebeu-se que o m´etodo falha. Ao comparar os resultados obtidos pelo DTM destaca-se a sua precis˜ao para valores de ↵  0, 6. Entretanto, ao se aplicar o m´etodo proposto para o mesmo problema, considerando a constante de varia¸c˜ao da se¸c˜ao ↵  0, 6, o DTM cuja s´erie est´a centrada em zero, mostra-se ineficaz, uma vez que as s´eries n˜ao convergem, mesmo para um n´ umero de itera¸c˜oes elevado. Como forma de solucionar esse problema, optou-se pela representa¸ca˜o do m´etodo por uma s´erie de potˆencia centralizada em valores entre zero ou um, exceto no pr´oprio zero. Assim, pode-se perceber que o DTM ´e um m´etodo eficaz no c´alculo de frequˆencias naturais de vigas. Mas ´e importante destacar que o m´etodo cl´assico, onde a solu¸c˜ao se d´a por interm´edio de uma s´erie centralizada em zero, ser ineficaz para alguns problemas estudados e apresentar falhas, o que viabiliza o uso do m´etodo com expans˜ao em s´erie centrada em qualquer valor.

Referˆ encias [1] EL-SHAHED, Moustafa.Application of di↵erential transform method to non-linear oscillatory systems. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, v.13, n. 8, p. 1714-1720,2008.

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