บทที่ 3 อุปกรณ์และวิธีดำเนินกำรวิจัย การวิ จั ย ครั้ ง นี้ เ ป็ น การศึ ก ษาเกี่ ย วกั บ พื้ น ที่ ร วมถึ ง ความสั ม พั น ธ์ ร ะหว่ า งพื้ น ที่ ข องเซกเมนต์ พาราโบลากับพื้นที่รูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีสโดยดาเนินการตามขั้นตอนดังต่อไปนี้ 1. ศึกษาความรู้พื้นฐานด้วยการศึกษาบทนิยามเกี่ยวกับเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส รูป สามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส พิสูจน์ทฤษฎีบทและบทแทรกที่เกี่ยวข้องเพื่อสร้างความรู้พื้นฐานสาหรับการ วิจัย 2. หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมแนบในเซกเมนต์พาราโบลา เป็นการดาเนินการเพื่อให้ได้มาซึ่งพื้นที่ ของรูปสามเหลี่ยมแนบในเซกเมนต์พาราโบลาโดยใช้วิธีการของเรขาคณิตวิเคราะห์ เมทริกซ์และดี เทอร์มิแนนต์ 3. หาพื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส เป็นการใช้วิธีการทางแคลคูลัสและเรขาคณิต วิเคราะห์ โดยการประยุกต์ความรู้เรื่องปริพันธ์เพื่อหาพื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส 4. หาพื้น ที่ของรู ปสามเหลี่ ยมของอาร์คิมีดีส เป็นการแสดงการพิสูจน์เพื่อหาพื้นที่ของรูป สามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีสโดยใช้ความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตของยุคลิด 5. หาความสั มพั น ธ์ร ะหว่า งพื้นที่ ของเซกเมนต์พ าราโบลาของอาร์ คิมีดี ส กั บพื้น ที่ของรู ป สามเหลี่ ย มของอาร์ คิ มี ดี ส เป็ น การแสดงการเปรี ย บเที ย บพื้ น ที่ ข องรู ป เรขาคณิ ต ทั้ ง สองโดยใช้ ก าร เปรียบเทียบอัตราส่วน ควำมรู้พื้นฐำน (Basic Knowledge) การวิจัยครั้งนี้ใช้วิธีการของแคลคูลัสและเรขาคณิตวิเคราะห์บนระนาบในระบบพิกัดฉาก (Rectangular Coordinate System) ในการศึกษาค้นคว้าซึ่งได้กาหนดบทนิยามและทฤษฎีบทพื้นฐานที่ จาเป็นต่อการศึกษา ดังนี้ บทนิยำมที่ 1 เซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส หมายถึง อาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยโค้ง พาราโบลาและคอร์ดที่ลากเชื่อมจุดสองจุดซึ่งอยู่บนโค้งพาราโบลานั้น บทนิ ยำมที่ 2 รู ป สามเหลี่ ยมของอาร์ คิมีดี ส หมายถึง รูป สามเหลี่ ยมที่ มีฐ านเป็นคอร์ด ของ เซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีสและมีด้านสองด้านเป็นเส้นตรงที่สัมผัสโค้งพาราโบลาที่จุดปลายทั้งสอง ของคอร์ด บทนิยำมที่ 3 รูปสามเหลี่ยมแนบในเซกเมนต์พาราโบลา หมายถึง รูปสามเหลี่ยมที่มีฐานเป็น คอร์ดและมีจุดยอดมุมที่อยู่ตรงข้ามกับฐานอยู่ที่จุดยอดของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส
16
C
C
V A
S (13.1)
V A
A
B
B
B (13.2)
(13.3)
ภำพประกอบที่ 13 แสดงขอบเขตเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส รูปสามเหลี่ยม ของอาร์คิมีดีสและรูปสามเหลี่ยมแนบในเซกเมนต์พาราโบลา โค้งพาราโบลาตัดกับคอร์ด AB ที่ จุด A และ จุด B ให้ จุด V เป็นจุดสัมผัสที่เกิดจากเส้นตรงซึ่ง สั ม ผั ส กั บ โค้ ง พาราโบลาและขนานกั บ คอร์ ด AB เรีย ก เซกเมนต์ ABV ว่ า เซกเมนต์ พ าราโบลาของ อาร์คิมีดีส (ภาพประกอบที่ 13.1) เรียกคอร์ด AB ว่า ฐาน (base) เรียก จุด V ว่า จุดยอด (vertex) เรียก เส้น VS ซึ่งลากจากจุดยอดมาแบ่งครึ่ งฐาน AB ที่จุด S ว่า แกน (axis) เรียกรูปสามเหลี่ยม ABC ว่า รูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส (ภาพประกอบที่ 13.2) โดยมีฐาน AB ร่วมกันกับคอร์ด AB ของเซกเมนต์ พาราโบลาและมีด้านทั้งสอง คือ ด้าน AC และ ด้าน BC เป็นเส้นสัมผัสโค้งพาราโบลาที่ จุด A และ จุด B ซึ่งตัดกันที่จุด C และ เรียก รูปสามเหลี่ยม ABV ว่ารูปสามเหลี่ยมแนบใน (Inscribed Triangle) เซกเมนต์พาราโบลาซึ่งมีฐานเดียวกัน (ภาพประกอบที่ 13.3) ทฤษฎีบทของอำร์คิมีดีส (Archimedes’ Propositions) สาหรับเซกเมนต์พาราโบลาของ อาร์คิมีดีสใดๆ ถ้าลากเส้นตรงจากจุดกึ่งกลางฐานผ่านจุดยอดไปตัดกับเส้นสัมผัสโค้งพาราโบลาซึ่งมีจุด ปลายของฐานเป็นจุดสัมผัสแล้วระยะจากจุดกึ่งกลางฐานถึงจุดยอดจะเท่ากับระยะจากจุดยอดถึงจุดตัด สาหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทของอาร์คิมีดีส ประยุกต์จากแนวคิดของ Seely (2014: 4) และ ภิญโญ มนูศิลป์ (2557, 154-155) ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ ดังนี้ เซกเมนต์พาราโบลา ABV ซึ่งเกิดจากเส้นตรง y = mx + c ตัดกับโค้งพาราโบลา y = ax2 เมื่อ a 0 ที่จุด A และจุด B โดยมีเส้นตรง y = mx + b ขนานกับฐาน AB และสัมผัสโค้งพาราโบลาที่จุด V ให้ S เป็นจุดกึ่งกลางของ ฐาน AB และเส้นตรง SV เป็นแกนของเซกเมนต์พาราโบลา ABV ลากต่อเส้นตรง SV ไปทางจุด V พบเส้นสัมผัสโค้งพาราโบลาซึ่งลากมาจากจุดสัมผัส B ที่จุด C (ภาพประกอบที่ 14)
17
y
y = mx + c
B
y = ax2
S
A
y = mx + b
V
x
C
ภำพประกอบที่ 14 ภาพแสดงการพิสูจน์ทฤษฎีบทของอาร์คิมีดีส ต้องกำรพิสูจน์ว่ำ VS = VC กำรพิสูจน์ เนื่องจากจุด A และจุด B เป็นจุดตัดของพาราโบลา y = ax2 และเส้นตรง y = mx + c m m m 4ac 2ac จะได้ พิกัดของจุด B คือ ( m m2a 4ac , ) 2a 2
2
(
พิกัดของจุด A คือ
m m 2 4ac 2a
,
2
m 2 m m 2 4ac 2ac 2a
)
จากจุด S เป็นจุดกึ่งกลางของฐาน AB ดังนั้นพิกัดของจุด S คือ ( m , m2a + c ) 2a เนื่องจากจุด V เป็นจุดที่เส้นตรง y = mx + b สัมผัสกับพาราโบลา y = ax2 จะได้พิกัดของ จุด V คือ ( 2ma , m4a ) ---------------------------------- (1) เพราะว่าเส้นตรง BC เป็นเส้นสัมผัสกับพาราโบลา y = ax2 ที่จุด B จะได้ว่าความชันของเส้นสัมผัส BC คือ y / = 2ax = 2a ( m m2a 4ac ) 2
2
2
= m m 4ac y – y1 = m (x – x1) 2
จากสูตรสมการเส้นตรง ดังนั้นสมการของเส้นสัมผัส BC คือ y–( m
2
m m 2 4ac 2ac 2a
) = (
y = ( m m 4ac ) x – ( m m เนื่องจากสมการของ เส้นตรง SC คือ x = m 2
2a
m m2 4ac ) ( x 2
4ac m 2 2ac ) 2a
–
m m 2 4ac 2a
)
18
ดังนั้นค่า y ของจุด C คือ y = ( m m 4ac ) ( 2ma ) – ( m m 4ac2a m 2ac ) y = –c จะได้ว่าพิกัดของจุด C คือ ( m , – c ) 2a / สมมุติให้ จุด V เป็นจุดกึ่งกลางของเส้นตรง SC m เนื่องจากจุดปลายของ เส้นตรง SC อยู่ที่จุด S ( 2a , m2a + c ) และ จุด C ( 2
2
2
2
ดังนั้น พิกัดของ จุด V คือ ( /
m m 2a 2a 2
2
,
ดังนั้น จุดกึ่งกลางของ เส้นตรง SC อยู่ที่
m c ( c ) 2a ) 2 2 จุด V/ ( 2ma , m4a
)
m 2a
,–c)
------------------- (2)
จาก (1) และ (2) แสดงว่าจุด V และ จุด V/ คือ จุดเดียวกัน ดังนั้น จุด V คือ จุดกึ่งกลาง ของ เส้น SC นั่นคือ VS = VC (กรณี เส้นสัมผัสโค้งพาราโบลาที่จุด P ก็พิสูจน์ได้ในทานองเดียวกัน) ข้อสังเกต ผลจากการพิสูจน์ทฤษฎีบทข้างต้นจะพบว่า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส
พื้นที่รูปสำมเหลี่ยมแนบในเซกเมนต์พำรำโบลำของอำร์คิมีดีส ให้เซกเมนต์พาราโบลา ABV เกิดจากเส้นตรง y = mx + c ตัดพาราโบลา y = ax2 เมื่อ a 0 ที่ จุด A และจุด B โดยมี เส้นตรง AB เป็นฐาน จุด V เป็นจุดยอดและรูปสามเหลี่ยม ABV เป็นรูปสามเหลี่ยม แนบในเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส (ภาพประกอบที่ 15) y
y = mx + c B
y = ax2
A V
x
19
ภำพประกอบที่ 15 รูปสามเหลี่ยมแนบในเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABV ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมแนบในเซกเมนต์พาราโบลาสามารถหา ได้ดังนี้ จากทฤษฎีบทของอาร์คิมีดีส จะได้ว่า จุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABV มีพิกัด ดังนี้ พิกัดของ จุด B คือ (
m m 2 4ac 2a
พิกัดของ จุด A คือ ( m พิกัดของ จุด V คือ (
m 2a
m 2 4ac 2a
,
m2 4a
,
m 2 m m 2 4ac 2ac 2a
)
m m 2 4ac 2ac 2a
)
,m
2
)
ให้ K แทน พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABV
ดังนั้น K =
1 2
m m 2 4ac 2a
m 2 m m 2 4ac 2ac 2a
m m 2 4ac 2a
m 2 m m 2 4ac 2ac 2a
m 2a
m2 4a
m 2 m m 2 4ac 2ac m m 2 4ac 3 2 2 3 2 2 4ac m 4ac 3m m2a m 4ac 4ac m 2 4ac 2a 3m m m 4ac ( )( ) 2 2 8a 8a
K =
1 2
[
=
1 2
[
4ac m 2 4ac 3m 3 m 2 m 2 4ac 4ac m 2 4ac 3m 3 m 2 m 2 4ac 8a 2
=
1 2
[
8ac m 2 4ac 2m 2 m 2 4ac 8a 2
=
3
]
( m 2 4ac) m 2 4ac 8a 2
]
ตารางหน่วย
นั่นคือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมแนบในเซกเมนต์พาราโบลาเท่ากับ ( m 4ac) m 4ac ตารางหน่วย 8a 2
2
2
]
--------------- (3)
พื้นที่ของเซกเมนต์พำรำโบลำของอำร์คิมีดีส (Area of Archimedes’ Segment) เซกเมนต์พาราโบลา ABV เกิดจาก เส้นตรง y = mx + c ตัดพาราโบลา y = ax2 เมื่อ a 0 ที่ จุด A และจุด B โดยมีเส้นตรง AB เป็นฐานจุด V เป็นจุดยอดของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส ภาพประกอบที่ 16 เป็นพาราโบลา y = ax2 เมื่อ a > 0
20
y y = ax2
y = mx + c
B
A V
x
ภำพประกอบที่ 16 เซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส การหาพื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส ABV สามารถหาได้ดังนี้ ให้ Ω แทนพื้นที่เซกเมนต์พาราโบลา ABV เนื่องจากพาราโบลา y = ax2 และเส้นตรง y = mx + c ตัดกันที่จุด A และจุด B
m m 2 4ac 2a
ดังนั้น Ω =
[(mx c) ax]dx m m 2 4ac 2a 2
m m 2 4ac 2a
3
= [ c (x) + m ( x2 ) – a ( x3 )] m m 4ac 2a
m m 2 4ac m 2am 2 4ac
2
= c (x)
m m 2 4ac 2a
2a
2
+ m ( x2 )
3
m m 2 4ac 2a
– a ( x3 )
m m 2 4ac 2a
m m 2 4ac 2a
=
c m 2 4ac a
=
6ac m 2 4ac 3m 2 m 2 4ac 2m 2 m 2 4ac 2ac m 2 4ac 6a 2
=
( m 2 4ac) m 2 4ac 6a 2
+
m 2 m 2 4ac 2a 2
จาก (3) และ (4) จะได้ว่า
m 2 m 2 4ac ac m 2 4ac 3a 2
ตารางหน่วย
)
--------------- (4)
( m 4ac) m 4ac 6a 2 2
Ω = K
–(
2
( m 2 4ac) m 2 4ac 8a 2
21
ดังนั้น
Ω = (4) K 3
จะได้ว่าพื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลา ABV เท่ากับ 4/3 เท่าของพื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABV กรณีที่ พาราโบลา y = ax2 เมื่อ a < 0 ใช้หลักการพิสูจน์ได้ในทานองเดียวกัน นั่นคือ พื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีสเท่ากับ 4/3 เท่าของพื้นที่ รูปสามเหลี่ยมแนบในเซกเมนต์พาราโบลา บทแทรก สาหรับรูปสามเหลี่ยมใดๆ เส้นตรงที่ลากจากจุดกึ่งกลางด้านๆหนึ่งและขนานกับอีก ด้านหนึ่งย่อมแบ่งครึ่งด้านที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมรูปนั้น กาหนดให้ XYZ เป็นรูปสามเหลี่ยมใดๆ จุด Q เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน XZ ลากเส้นตรง QR ให้ ขนานกับด้าน XY พบด้าน YZ ที่จุด R (ภาพประกอบที่ 17)
Z Q
R
S
X Y ภำพประกอบที่ 17 การลากเส้นตรงจากจุดกึ่งกลางด้านของรูปสามเหลี่ยม ต้องกำรพิสูจน์ว่ำ จุด R เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน YZ กำรพิสูจน์ ลากต่อเส้นตรง QR ไปถึงจุด S โดยให้เส้นตรง QS ยาวเท่ากับด้าน XY แล้ว ลากเส้นตรง YS จะได้ว่า เส้นตรง QS ขนานและยาวเท่ากับเส้นตรง XY เนื่องจาก เส้นตรง XQ และ เส้นตรง YS เป็นเส้นตรงปิดหัวท้ายของเส้นคู่ขนานที่ยาวเท่ากัน เป็นผลให้เส้นตรง XQ ขนานและยาวเท่ากับเส้นตรง YS เนื่องจากจุด Q เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน XZ กล่าวได้ว่า เส้นตรง XQ ยาวเท่ากับเส้นตรง QZ จะได้ว่า เส้นตรง QZ ขนานและยาวเท่ากับเส้นตรง YS เนื่องจาก เส้นตรง QZ ขนานกับเส้นตรง YS โดยสมบัติการเท่ากันของมุมแย้ง เป็นผลให้ มุม ZQR มีขนาดเท่ากับ มุม RSY และ มุม QZR มีขนาดเท่ากับ มุม RYS กล่าวได้ว่า รูปสามเหลี่ยม QZR เท่ากันทุกประการกับรูปสามเหลี่ยม RYS (มุม-ด้าน-มุม) ดังนั้น จะได้ว่า เส้นตรง ZR ยาวเท่ากับเส้นตรง RY
22
นั่นคือ จุด R เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน YZ
พื้นที่ของรูปสำมเหลี่ยมของอำร์คิมีดีส (Area of Archimedes’ Triangle) ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีสซึ่งมีฐาน AB ร่วมกับเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส ABV ซึ่งเกิดจากเส้นตรง y = mx + c ตัดพาราโบลา y = ax2 เมื่อ a 0 โดยมี ABV เป็นรูปสามเหลี่ยม แนบในเซกเมนต์พาราโบลา (ภาพประกอบที่ 18)
y y = ax2 A
S V C
y = mx + c
B
y = mx + b F
x G
A
B
S V D C
E
(18.1) (18.2) ภำพประกอบที่ 18 การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส ABC สามารถหาได้ ดังนี้ ลากเส้นตรง y = mx + b ตัดด้าน AC และด้าน BC ของรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส ABC ที่ จุด D และ จุด E ตามลาดับ จากจุด C ลากเส้นตรง CG ให้ขนานกับฐาน AB จากจุด A ลากเส้นตรงให้ขนานกับด้าน BC ตัด เส้นตรง CG ที่จุด G และ ต่อเส้นตรง ED พบกับเส้นตรง AG ที่จุด F (ภาพประกอบที่ 18.2) จะได้ว่า ABEF และ ABCG เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากรูปสามเหลี่ยม ABV กับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABEF มีฐาน AB ร่วมกันอยู่ในแนวเส้น คู่ขนานเดียวกัน จะได้ว่า พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABEF เป็น 2 เท่าของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABV
23
ในทานองเดียวกันจะได้ว่า พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCG เป็น 2 เท่าของพื้นที่ของ รูปสามเหลี่ยม ABC เนื่องจากจุด V เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน CS ของรูปสามเหลี่ยม BCS จากบทแทรกกล่าวได้ว่า จุด E เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน BC ดังนั้น เส้นตรง BE ยาวเท่ากับเส้นตรง EC จะได้ว่า พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCG = 2 เท่าของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABEF ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC = พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABEF จะได้ว่า พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC = 2 เท่าของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABV พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC = (2) [ (m 4ac8)a m 4ac ] 2
2
2
( m 2 4ac) m 2 4ac 4a 2
=
ตารางหน่วย ---- (5)
นั่นคือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีสเท่ากับสองเท่าของพื้นที่ของ รูปสามเหลี่ยมแนบในเซกเมนต์พาราโบลา
ควำมสัมพันธ์ระหว่ำงพื้นที่เซกเมนต์พำรำโบลำของอำร์คิมีดีสกับพื้นที่รูปสำมเหลี่ยมของอำร์คิมีดีส (The relationship between the area of Archimedes’ Parabolic Segment and the area of Archimedes’ Triangle) ให้เซกเมนต์พาราโบลา ABV รูปสามเหลี่ยม ABV และ รูปสามเหลี่ยม ABC เป็น เซกเมนต์ พาราโบลาของอาร์คิมีดีส รูปสามเหลี่ยมแนบในเซกเมนต์พาราโบลาและรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส ตามลาดับซึ่งเกิดจาก เส้นตรง y = mx + c ตัดพาราโบลา y = ax2 เมื่อ a 0 (ภาพประกอบที่ 19) ต้องการหาความสัมพัน ธ์ระหว่างพื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีสกับพื้นที่ของรูป สามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีสโดยการเปรียบเทียบอัตราส่วนของพื้นที่ทั้งสอง y
y = mx + c B
y = ax
2
A
V
C
x
24
ภำพประกอบที่ 19 อัตราส่วนระหว่างพื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส กับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส จาก (4) และ (5) จะได้ว่า พื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส ดังนั้น
=
( m 2 4ac) m 2 4ac 6a 2
=
( m 2 4ac) m 2 4ac 4a 2
พื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส
ตารางหน่วย
ตารางหน่วย
=
( m 2 4ac) m 2 4ac 6a 2 ( m 2 4ac) m 2 4ac 4a 2
นั่นคือ พื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีสเท่ากับ 2/3 เท่าของพื้นที่ของ รูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส
