บทที่ 2 ทบทวนเอกสารและงานวิจัยที่เกี่ยวข้อง การวิ จั ย ครั้ ง นี้ มี วั ต ถุ ป ระสงค์ เ พื่ อ ศึ ก ษาพื้ น ที่ แ ละความสั ม พั น ธ์ ร ะหว่ า งพื้ น ที่ ข องเซกเมนต์ พาราโบลาของอาร์คิมีดีส กับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส แนวคิดและทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับ เซกเมนต์พาราโบลาที่มีความเกี่ยวข้องและจาเป็นซึ่งเป็นพื้นฐานสาคัญสาหรับการศึกษาอันจะนาไปสู่การ พัฒนาองค์ความรู้เพื่อตอบวัตถุประสงค์ของการวิจัยที่กาหนดไว้ในครั้งนี้ มีดังนี้ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส (The Propositions of Archimedes’ Parabolic Segment) เซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส คือพื้นที่เรขาคณิตที่เกิดจากการลากเส้นตรงเชื่อมจุดสองจุดที่ อยู่บนโค้งพาราโบลา อาร์คิมีดีสได้ศึกษาสมบัติต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับเซกเมนต์พาราโบลาดังกล่าวและสร้าง ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเซกเมนต์พาราโบลาจานวน 24 บท ซึ่งถือเป็นผลงานที่สาคัญได้รับการยกย่องและ กล่าวถึงอย่างกว้างขวางจากนักคณิตศาสตร์ในยุคต่อมาอีกทั้งยังได้ถูกนาไปประยุกต์ใช้ในเชิงฟิสิกส์อย่าง แพร่หลาย ทฤษฎีบทบางทฤษฎีเป็นข้อเท็จจริงเบื้องต้นที่ไม่ได้แสดงการพิสูจน์ไว้แต่บางทฤษฎีบทก็แสดง การพิสูจน์โดยใช้วิธีการที่ซับซ้อน ทฤษฎีบทดังกล่าวถูกสรุปและรวบรวมไว้โดย Heath (1897: 234-252) ซึ่งบันทึกไว้ในหนังสือ The Works of Archimedes นอกจากนี้ยังมีนักคณิตศาสตร์ อีกหลายท่านที่ได้ ศึกษาค้นคว้าเพิ่มเติมหรือแสดงการพิสูจน์บางทฤษฎีบทโดยใช้วิธีการที่แตกต่างจากเดิม เช่น การหาพื้นที่ เซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส โดย Erbas. (2000: 1) การศึกษาเกี่ยวกับจุดศูนย์ถ่วง (Center of Gravity) ของเซกเตอร์เชิงพาราโบลา โดย Stein (1999: 61-62) เป็นต้น สาหรับทฤษฎีบทเกี่ยวกับ เซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีสที่สาคัญซึ่งนามาใช้เป็นพื้นฐานในการศึกษาครั้งนี้มี ดังนี้ ทฤษฎีบทที่ 1 ให้ QQ / เป็นคอร์ด P เป็นจุดยอด โดยมี PV เป็นเส้นผ่านกลางของเซกเมนต์ พาราโบลา ถ้า จุด R เป็นอีกจุดหนึ่งที่อยู่บนโค้งพาราโบลา ถ้าลากเส้นตรงผ่าน จุด R ขนานกับเส้น PV พบ QQ / ที่ จุด O และตัดเส้นสัมผัสโค้งพาราโบลาจากจุด Q ที่จุด E แล้ว จะได้ว่า QO : OQ / = ER : RO (ภาพประกอบที่ 3)
Q
T E
P
6
V R
O
Q/
ภาพประกอบที่ 3 อัตราส่วนที่เกิดจากโค้งพาราโบลา ทฤษฎีบทที่ 2 ให้ P เป็นจุดบนโค้งพาราโบลาที่มี QQ / เป็นคอร์ด ลากเส้นตรงจากจุด P พบ QQ / ที่จุด V โดยที่ เส้นตรง PV ขนานกับแกน (axis) หรือ เป็นแกนของเซกเมนต์พาราโบลา ถ้า QQ / ขนานกับเส้นสัมผัสโค้งพาราโบลาที่ จุด P แล้ว QV = VQ / และ ถ้า QV = VQ / แล้ว QQ / จะขนานกับ เส้นสัมผัสโค้งพาราโบลาที่ จุด P (ภาพประกอบที่ 4) Q
P
V
Q/
ภาพประกอบที่ 4 เส้นสัมผัสโค้งพาราโบลาและฐานของเซกเมนต์พาราโบลา
ทฤษฎีบทที่ 3 ให้ QQ / เป็นคอร์ดของเซกเมนต์พาราโบลาที่ขนานกับเส้นสัมผัสโค้งพาราโบลาที่ จุด P ถ้า ลากเส้นตรงผ่าน จุด P พบ เส้นสัมผัสโค้งพาราโบลาจากจุด Q ที่จุด T แล้ว จะได้ว่า PV = PT (ภาพประกอบที่ 5) Q
T
P
V
7
Q/
ภาพประกอบที่ 5 จุดยอดและเส้นผ่านกลางของเซกเมนต์พาราโบลา หมายเหตุ เรียก P ว่า จุดยอด (vertex) ของเซกเมนต์พาราโบลา เรียก PV ว่า เส้นผ่านกลาง (diameter) ของเซกเมนต์พาราโบลา เซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีสในระบบพิกัดฉาก (The Archimedes’ Parabolic Segment in Rectangular Coordinate System) Swain (2013: 1) ได้ศึกษาเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีสในระบบพิกัดฉากโดยทาการพิสูจน์ เกี่ยวกับโค้งของอาร์คิมีดีสซึ่งเกิดจากทางเดินของจุดที่เกิดขึ้นภายในรูปสามเหลี่ยม ความรู้เกี่ยวกับโค้งของ อาร์คิมีดีสที่เป็นพื้นฐานที่นาไปใช้ในการศึกษาวิจัยครั้งนี้ มีดังนี้ 1. อัต ราส่วนของอาร์ คิมีดีสและโค้งของอาร์ คิมีดีส (Archimedes’ Ratio and Archimedes’ Curves) เส้นตรง DE ขนานกับ ด้าน AB ของ รูปสามเหลี่ยม ABC โดยที่ จุด D และ จุด E เป็นจุดซึ่ง DP อยู่บน ด้าน AC และ ด้าน BC ตามลาดับ กาหนดจุด P บน เส้นตรง DE ซึ่งทาให้อัตราส่วน AD = DE AC DP 1.1 เรียก อัตราส่วน AD AC = DE ว่า อัตราส่วนของอาร์คิมีดีส 1.2 เรียกเส้นโค้งซึ่งเป็นทางเดินของจุด P จากจุด A ไปยัง จุด C ว่า โค้งของอาร์คิมีดีส B
E
P
A
D
C
8
ภาพประกอบที่ 6 โค้งของอาร์คิมีดีส โค้งของอาร์คิมีดีสมีสมบัติที่สาคัญหลายประการ Swain (2013:2-3) ได้ศึกษาค้นคว้าถึงลักษณะที่ น่าสนใจที่เกี่ยวข้องกับโค้งของอาร์คิมีดีสในระบบแกนมุมฉาก โดยสามารถสรุปสมบัติที่สาคัญได้ ดังนี้ 2. สมบัติของอัตราส่วนอาร์คิมีดีสและโค้งของอาร์คิมีดีส (Properties of Archimedes’ Ratio and Archimedes’ Curves) สมบัติที่ 1 โค้งของอาร์คิมีดีสเป็นเส้นโค้งพาราโบลา y
B (0, b) E P (x, y) D
A (0, 0)
C (c, m) x
ภาพประกอบที่ 7 โค้งของอาร์คิมีดีสในระบบพิกัดฉาก กาหนดให้ จุด A (0, 0) จุด B (0, b) และ จุด C (c, m) เป็นจุดยอดของ รูปสามเหลี่ยม ABC ให้ ส่วนของเส้นตรง DE ขนานกับ ด้าน AB โดยที่ จุด D และ E อยู่บน ด้าน AC และ BC ตามลาดับ กาหนด DP จุด P(x,y) บน DE ที่ทาให้ AD = DE (ซึ่งเป็นอัตราส่วนของอาร์คิมีดีส) แล้วจะได้ว่าเส้นโค้ง AC (ซึ่งเป็น AC ทางเดินของจุด P) เป็นโค้งของอาร์คิมีดีส ต้องการพิสูจน์ว่า โค้งของอาร์คิมีดีส (เส้นโค้ง AC) เป็น โค้งพาราโบลา การพิสูจน์ ต่อเส้นตรง DE พบ แกน x ที่จุด F ลากเส้นตรงจากจุด C ให้ขนานกับแกน y พบแกน x ที่จุด G ลากเส้นตรงจากจุด C ให้ขนานกับแกน x ตัดเส้นตรง EF ที่จุด H และพบแกน y ที่จุด K (ภาพประกอบที่ 8) สามารถหาพิกัดของจุด F และจุด E โดยอาศัยสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคล้ายได้ดังนี้ y
B (0, b)
9
E
b-m
P H D F
EF - m
K m x
G (c, 0) x c-x
c
ภาพประกอบที่ 8 แสดงการพิสูจน์โค้งพาราโบลา เนื่องจาก AFD กับ AGC เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้าย ดังนั้น จะได้ว่า DF CG = AF AG DF x
= DF =
ดังนั้น พิกัดของ จุด D อยู่ที่ D (x,
xm c
m c xm c
)
และ เนื่องจาก CHE กับ CKB เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้าย ดังนั้น จะได้ว่า cx EF m = bm c
EF = b + (m c b) x
ดังนั้น พิกัดของ จุด E อยู่ที่ E (x, b +
(m b) x) c
จากอัตราส่วนของอาร์คิมีดีส AD AC
x c
= =
DP DE
m )x c b b ( )x c
y (
y = b2 x 2 b m x c c นั่นคือ โค้งของอาร์คิมีดีสเป็นเส้นโค้งพาราโบลา
10
สมบัติที่ 2 ด้าน BC ของ รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นเส้นสัมผัสโค้งอาร์คิมีดีส ที่ จุด C y
B (0, b) E
A (0, 0)
P D
C (c, m) x
ภาพประกอบที่ 9 เส้นสัมผัสโค้งอาร์คิมีดีส การพิสูจน์ เพราะว่า เส้นตรง BC ผ่าน จุด B (0, b) และ จุด C (c, m) ดังนั้น ความชันของ เส้นตรง BC คือ y y ความชัน = x x =
2
1
2
1
mb c 2 – cb2 x
เนื่องจาก y = ความชันของเส้นสัมผัสโค้ง คือ y/ = –
2b c2
---------------------------------- (1) + bm x
x+
c
bm c
เมื่อ x = c ดังนั้นจะได้ความชันของเส้นสัมผัสโค้งที่ จุด C (c, m) คือ y / = m b ---------------------------------- (2) c
จาก (1) และ (2) นัน่ คือ ด้าน BC ของ รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นเส้นสัมผัสโค้ง ของอาร์คิมีดีส ที่ จุด C สมบัติที่ 3 เมื่อ จุด D เป็นจุดกึ่งกลางของ ด้าน AC เส้นสัมผัสโค้งของอาร์คิมีดีสจะขนานกับ ด้าน AC ที่ จุด P y
B (0, b)
11
E P C (c, m)
D
x A (0, 0) ภาพประกอบที่ 10 เส้นสัมผัสโค้งของอาร์คิมีดีสที่ขนานกับฐานของรูปสามเหลี่ยม การพิสูจน์ เนื่องจาก ความชันของเส้นสัมผัสโค้ง คือ / y = – 2b x + c
2
bm c
c
ให้ จุด D เป็นจุดกึ่งกลางของ ด้าน AC แสดงว่า x = 2 ที่จุด P เมื่อ x = 2c ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสโค้งที่ จุด P คือ /
y =
m c
---------------------------------- (3)
เพราะว่า ด้าน AC ผ่าน จุด A (0, 0) และ จุด C (c, m) ดังนั้น ความชันของ ด้าน AC คือ ความชัน = yx xy =
2
1
2
1
m c
---------------------------------- (4)
จาก (3) และ (4) แสดงว่า ความชันของเส้นสัมผัสโค้งของอาร์คิมีดีสที่จุด P เท่ากับ ความชันของด้าน AC นั่นคือ เมื่อ จุด D เป็นจุดกึ่งกลางของ ด้าน AC เส้นสัมผัสโค้งของอาร์คิมีดีส จะขนานกับด้าน AC ที่จุด P เซกเมนต์พาราโบลาและรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส (Archimedes’ Parabolic Segment and Archimedes’ Triangle) จากการศึ กษาเกี่ย วกับ โค้ง ของอาร์คิ มีดีส และสมบั ติต่า งๆ ดังกล่ าวข้ างต้ น สามารถก าหนด ลักษณะของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส และรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส ได้ดังนี้
12
1. เซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส หมายถึง อาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยโค้งพาราโบลาและ คอร์ดที่ลากเชื่อมจุดสองจุดซึ่งอยู่บนโค้งพาราโบลานั้น 2. รู ป สามเหลี่ ย มของอาร์ คิ มี ดี ส หมายถึ ง รู ป สามเหลี่ ย มที่ มี ฐ านเป็ น คอร์ ด ของเซกเมนต์ พาราโบลาของอาร์คิมีดีสและมีด้านสองด้านเป็นเส้นสัมผัสที่สัมผัสโค้งพาราโบลาที่จุดปลายทั้งสองของ คอร์ด 3. รูปสามเหลี่ยมแนบในเซกเมนต์พาราโบลา หมายถึง รูปสามเหลี่ยมที่มีฐานเป็นคอร์ดและมีจุด ยอดมุมอยู่ที่จุดยอดของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส E
E
A
D
P
P
P
A
C
A
D
C
D
C
(11.1) (11.2) (11.3) ภาพประกอบที่ 11 เซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส รูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส และรูปสามเหลี่ยมแนบในเซกเมนต์พาราโบลา จุด A และ C เป็นจุดสองจุดบนโค้งพาราโบลาโดยมี จุด P เป็นจุดสัมผัสโค้งของเส้นตรงที่ขนาน กับ คอร์ด AC กล่าวได้ว่า เซกเมนต์ APC คือ เซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส (ภาพประกอบที่ 11.1) และ ให้ จุด E เป็นจุดตัดของเส้นสัมผัสทั้งสองของเส้นสัมผัสโค้งพาราโบลาที่ จุด A และ จุด C ซึ่งเป็นจุด ปลายของคอร์ด AB กล่าวได้ว่า รูปสามเหลี่ยม ACE คือ รูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีสซึ่งมี คอร์ด AC เป็น ฐาน (ภาพประกอบที่ 11.2) และเรียกรูปสามเหลี่ยม APC ว่า รูปสามเหลี่ยมแนบในเซกเมนต์พาราโบลา (ภาพประกอบที่ 11.3) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง (Area Between Two Curves) ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ ถ้า f(x) g(x) สาหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วง [a, b] แล้ว พื้นที่ A ซึ่งถูกปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = f(x) และ y = g(x) บนช่วง [a, b] สามารถหาได้ด้วย สูตร b พื้นที่ A = ∫ [ f(x) – g(x)] dx a
13
y y = f(x) y = g(x)
A a
b
x
ภาพประกอบที่ 12 พื้นที่ A ระหว่างเส้นโค้งของฟังก์ชัน y = f(x) และ y = g(x)
