บทที่ 1 บทนำ ควำมสำคัญและที่มำของปัญหำ อาร์ คิมีดีส (Archimedes) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก (287-212 ปี ก่อนคริส ต์ศักราช) ได้ใช้ ระเบียบวิธีเกษียณ (method of exhaustion) รวมทั้งวิธีเชิงกลศาสตร์ (method of mechanics) ใน การศึ ก ษาสมบั ติ ข องเซกเมนต์ พ าราโบลาและสร้ า งทฤษฎี บ ทเกี่ ย วกั บ เซกเมนต์ พ าราโบลา (Heat, 1897:251; Stein, 1999:53-54; Broline, 2009:1-4; Hahn, 2010:63-65; Seely, 2014:1-4) ซึ่งถือเป็น ข้อค้นพบที่มีชื่อเสียงและได้รับการยกย่องจากนักคณิตศาสตร์ในยุคหลัง เซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส (Archimedes’ Parabolic Segment) หมายถึง อาณา บริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยโค้งพาราโบลาและคอร์ดที่ลากเชื่อมจุดสองจุดซึ่งอยู่บนโค้งพาราโบลานั้น (Erbas, 2000: 1) V
V A
A B (1.1)
S (1.2)
A B
B (1.3)
ภำพประกอบที่ 1 เซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส โค้งพาราโบลาตัดกับคอร์ด AB ที่ จุด A และ จุด B (ภาพประกอบที่ 1.1) ให้ จุด V เป็นจุดสัมผัส ที่เกิดจากเส้นตรงซึ่งสัมผัสกับโค้งพาราโบลาและขนานกับคอร์ด AB เรียก เซกเมนต์ ABV ว่า เซกเมนต์ พาราโบลาของอาร์คิมีดีส (ภาพประกอบที่ 1.2) เรียก คอร์ด AB ว่า ฐาน (base) เรียก จุด V ว่า จุดยอด (vertex) เรียก เส้น VS ซึ่งลากจากจุดยอดมาแบ่งครึ่งฐาน AB ที่จุด S ว่า แกน (axis) โดยมี รูปสามเหลี่ยม ABV เป็นรูปสามเหลี่ยมแนบใน (inscribed triangle) เซกเมนต์พาราโบลาซึ่งมีฐานเดียวกันและมีจุดยอด ร่วมกัน (ภาพประกอบที่ 1.3) อาร์คิมีดีส ได้ใช้ระเบียบวิธีเกษียณในการศึกษา โดยพบว่า พื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลา ABV มี ค่าเท่ากับ 4/3 ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABV (Heat, 1897:251 ; Broline, 2009:1-4 ; Seely, 2014:1-4) ซึ่งถือเป็นข้อค้นพบที่มีชื่อเสียงและได้รับการยกย่องจากนักคณิตศาสตร์ในยุคนั้น เมื่อลากเส้นตรงสัมผัสโค้งพาราโบลาที่จุดปลายทั้งสองของคอร์ดไปพบกันที่จุดซึ่งอยู่ภายนอกของ เซกเมนต์พาราโบลา จะเกิด รูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส (Archimedes’ Triangle) ซึ่ง หมายถึง รูป
2
สามเหลี่ยมที่มีฐานเป็นคอร์ดของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีสและมีด้านสองด้านเป็นเส้นสัมผัสที่ สัมผัสโค้งพาราโบลาที่จุดปลายทั้งสองของคอร์ด (Woltermann, 2014:1) C V A
S (2.1)
A
A
B
B
B (2.2)
(2.3)
ภำพประกอบที่ 2 รูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส จากเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส ABV (ภาพประกอบที่ 2.1) ลากเส้นตรงสัมผัส โค้ง พาราโบลาที่ จุด A และ จุด B (ภาพประกอบที่ 2.2) ให้ จุด C เป็นจุดตัดของเส้นสัมผัสทั้งสอง ซึ่งอยู่ ภายนอกเซกเมนต์พาราโบลา เรียก รูปสามเหลี่ยม ABC ว่า รูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส (ภาพประกอบที่ 2.3) โดยมีฐาน AB ร่วมกันกับเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส และมี ด้าน AC และ ด้าน BC เป็นด้าน ทั้งสองของรูปสามเหลี่ยม อาร์คิมีดีสได้ศึกษาถึงสมบัติต่างๆ ของเซกเมนต์พาราโบลาและสร้างทฤษฎีบทเกี่ยวกับ เซกเมนต์ พาราโบลา จานวน 24 บท โดยนอกเหนือจากการใช้ ระเบียบวิธีเกษียณแล้วยังใช้ วิธีกลศาสตร์ (method of mechanics) ในการพิสูจน์ (Stein, 1999:53-54 ; Hahn, 2010:63-65) ซึ่งความรู้ดังกล่าวนับเป็น รากฐานสาคัญที่ถูกนาไปประยุกต์ใช้ในเชิงฟิสิกส์และทาให้นักคณิตศาสตร์หลายท่านในยุคต่อมาได้ศึกษา เพิ่มเติมโดยใช้คณิตศาสตร์สมัยใหม่ขยายขอบเขตอย่างกว้างขวาง นอกจากระเบียบวิธีเกษียณ หรือวิธีเชิงกลศาสตร์ยังสามารถใช้ความรู้เชิงแคลคูลัสและเรขาคณิต วิเคราะห์มาศึกษาสมบัติของเซกเมนต์พาราโบลาเพื่อดูความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลา และพื้นที่รูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีสที่เป็นแนวทางการศึกษาอีกรูปแบบหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์ยุคใหม่ นิยมใช้เพื่อนาไปสู่การพัฒนาต่อยอดได้หรือไม่ เนื่องจากเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีสและรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีสมีความเกี่ยวข้อง สัมพันธ์ในเชิงโครงสร้าง กล่าวคือ มีฐานร่วมกันและด้านทั้งสองด้านของรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีสก็คือ เส้นสัมผัสโค้งพาราโบลาที่จุดปลายทั้งสองของฐานของเซกเมนต์พาราโบลา ดังนั้นการศึก ษาครั้งนี้จึงมี วัตถุประสงค์เพื่อมุ่งอธิบายถึงความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีสและพื้นที่
3
ของรู ปสามเหลี่ ย มของอาร์ คิมีดีส โดยใช้วิธีการของแคลคูลั สและเรขาคณิตวิเคราะห์ อันเป็นการขยาย ขอบเขตความรู้ทางคณิตศาสตร์ให้กว้างขวางยิ่งขึ้น วัตถุประสงค์ของงำนวิจัย 1. เพื่อศึกษาพื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส 2. เพื่อศึกษาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีส 3. เพื่อศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลาและพื้นที่รูปสามเหลี่ยมของอาร์ คิมีดีส ขอบเขตของงำนวิจัย การวิจั ย ครั้ งนี้ เป็ น การศึกษาเกี่ยวพื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส พื้นที่ของรู ป สามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีสและความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลาและพื้นที่รูปสามเหลี่ยม ของอาร์ คิ มี ดี ส โดยศึ ก ษาเชิ ง แคลคู ลั ส และเรขาคณิ ต วิ เ คราะห์ ใ นระบบพิ กั ด ฉาก (Rectangular Coordinate System) นิยำมศัพท์เฉพำะ 1. เซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส หมายถึง อาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยโค้งพาราโบลาและ คอร์ดที่ลากเชื่อมจุดสองจุดซึ่งอยู่บนโค้งพาราโบลานั้น 2. รู ป สามเหลี่ ย มของอาร์ คิ มี ดี ส หมายถึ ง รู ป สามเหลี่ ย มที่ มี ฐ านเป็ น คอร์ ด ของเซกเมนต์ พาราโบลาของอาร์คิมีดีสและมีด้านสองด้านเป็นเส้นสัมผัสที่สัมผัสโค้งพาราโบลาที่จุดปลายทั้งสองของ คอร์ด 3. รูปสามเหลี่ยมแนบในเซกเมนต์พาราโบลา หมายถึง รูปสามเหลี่ยมที่มีฐานเป็นคอร์ดและมีจุด ยอดมุมอยู่ที่จุดยอดของเซกเมนต์พาราโบลาของอาร์คิมีดีส สมมติฐำนของกำรวิจัย พื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลาและพื้นที่รูปสามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีสมีความสัมพันธ์กัน ประโยชน์ที่ได้รับจำกกำรวิจัย 1. เกิดองค์ความรู้อันเป็นการขยายขอบเขตความรู้ที่เกี่ยวข้องกับเซกเมนต์พาราโบลาและรูป สามเหลี่ยมของอาร์คิมีดีสทั้งในประเด็นที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่และจุดเซนทรอยด์ให้กว้างขวางและลึกซึ้งยิ่งขึ้น 2. สามารถนาความรู้อันเป็นผลจากการวิจัยไปใช้ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนหรือศึกษา ค้นคว้าเพิ่มเติมสาหรับนักศึกษาและผู้สนใจทั่วไป
