บทที่ 5 อภิปรายผล บทสรุปและขอเสนอแนะ การจัดทําวิจัยเรื่อ งกึ่ง มอดูยอ ยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (on classical primary subsemiodules) มี วัตถุประสงคเพื่อการนําความรูที่สอนในหองเรียนมาใชใหเกิดประโยชนและแกปญหาสรางทฤษฎีบทใหม ๆ โดยใช กระบวนการทางคณิตศาสตรและวิทยาศาสตร
5.1. สรุปผล สรุปผลการทําวิจัยจะแบงการสรุปผลออกเปน 3 ตอน ดังนี้ ตอนที่ 1 การวางแผนการดําเนินงาน ในการทําวิจัยเรื่องกึ่งมอดูยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (on classical primary subsemiodules) เรา สามารถปฏิบัติงานเปนไปตามแผนที่เราวางไวไดแก 1. คาดเดาพฤติกรรมของไอดีลปฐมภูมิ (Primary Ideal), ไอดีลปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (Classical primary Ideal) ในกึ่งริง (semiring) และคาดเดาพฤติกรรมของ k -กึ่งมอดูลยอย ( k -subsemimodule), กึ่งมอดูลยอย ปฐมภู มิ เ ชิ ง แบบฉบั บ (classical primary subsemimodule), กึ่ ง มอดู ล ย อ ยปฐมภู มิ (primary subsemimodule) และกึ่งมอดูลยอยกึ่งเฉพาะ (semiprime subsemimodule) ในกึ่งมอดูล (semimodule) 2. จําแนกลักษณะเฉพาะบางประการของ k -กึ่งมอดูลยอย ( k -subsemimodule), กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ เชิงแบบฉบับ (classical primary subsemimodule), กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ (prime subsemimodule) และกึ่ง มอดูลยอยกึ่งเฉพาะ (semiprime subsemimodule) ในกึ่งมอดูล (semimodule) 3. ศึ ก ษาความและหาสัม พัน ธร ะหวา งกึ่ ง มอดู ล ย อ ยปฐมภู มิ เ ชิง แบบฉบับ (classical primary subsemimodule) กับกึ่งมอดูลยอยกึ่งปฐมภูมิ (primary subsemimodule) และรากปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ กึ่งมอดูล (classical primary radical of semimodule) กับรากปฐมภูมิของกึ่งมอดูล (primary radical of semimodule) 4. สรางทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับสมบัติและความสัมพันธจากขอ 13.1-13.3 5. ทดสอบพฤติกรรมจากขอ 13.4 6. พิสูจนบทตั้งทฤษฎีบทและบทแทรกตาง ๆ 7. เผยแพร (ตีพิมพ) งานในวารสารระดับชาติหรือนานาชาติ 8. วิเคราะหผลการวิจัยจัดทํารางรายงานวิจัย 9. จัดทํารายงานการวิจัยฉบับสมบูรณ
53
ตอนที่ 2 วัตถุประสงค ในการทําวิจัยเรื่องกึ่งมอดูยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (on classical primary subsemiodules) เรา สามารถปฏิบัติงานเปนไปตามวัตถุประสงคที่เราวางไวไดแก 1. เพื่ อ หาสมบัติและความสัม พั นธร ะหวา งกึ่ง มอดู ล ยอ ยปฐมภูมิเ ชิง แบบฉบับ (classical primary subsemimodule) กับกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ (primary subsemimodule) 2. เพื่อ สรางทฤษฎีบทที่เ กี่ยวกับ สมบัติและความสัม พันธระหวางกึ่งมอดูล ยอ ยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (classical Primary subsemimodule) และกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ (primary subsemimodule)
ขั้นตอนที่ 3 ผลการศึกษา ผลการศึกษาลักษณะเฉพาะบางประการของและความสัมพันธระหวางรากปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของกึ่ง มอดูลบนกึ่งริงได ดังนี้ บทตั้ง 1 กําหนดให แบบฉบับของ R
P
เปนไอดีลแทของกึ่งริง
R
ถา
P
เปนไอดีลปฐมภูมิของ
R
แลว
P
เปนไอดีลปฐมภูมิเชิง
บทตั้ง 2 กําหนดให P เปนไอดีลแทของกึ่งริง R ถา P เปนไอดีลปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ เปนไอดีลปฐมภูมิของ R สําหรับแตละไอดีล I ของ R โดยที่ I P
R
แลว P : I
บทตั้ง 4 กําหนดให P เปนไอดีลแทของกึ่งริง R ถา P : I เปนไอดีลปฐมภูมิของ ของ R โดยที่ I P แลว P เปนไอดีลปฐมภูมิของ R
R
สําหรับแตละไอดีล
I
บทตั้ง 5 กําหนดให
R
สําหรับแตละไอดีล
I
ของ
R
โดยที่
P
IP
เปนไอดีลแทของกึ่งริง
ถา P : I เปนไอดีลปฐมภูมิของ แลว P : I เปนไอดีลเฉพาะของ R R
ทฤษฎีบท 6 กําหนดให P เปนไอดีลแทของกึ่งริง R จะไดวาขอความตอไปนี้สมมูลกัน 1. P เปนไอดีลปฐมภูมิของ R 2. P เปนไอดีลปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ R 3. P : I เปนไอดีลปฐมภูมิของ R สําหรับแตละไอดีล I ของ R โดยที่ I P
54 บทตั้ง 7 กําหนดให P เปนไอดีลแทของกึ่งริง R ถา P เปนไอดีลเสมือนปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ของ P : I เปนไอดีลเฉพาะของ R สําหรับแตละไอดีล I ของ R โดยที่ I P บทตั้ง 8 กําหนดให
I
ทฤษฎีบท 9 กําหนดให P เปนไอดีลแทของกึ่งริง R จะไดวา P เปนไอดีลเสมือนปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ของ ก็ตอเมื่อ P : I เปนไอดีลเฉพาะของ R สําหรับแตละไอดีล I ของ R โดยที่ I P
R
ของ
R
โดยที่
IP
แลว
P
ถา P : I เปนไอดีลเฉพาะของ เปนไอดีลเสมือนปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ R
แลว
สําหรับแตละไอดีล
P
เปนไอดีลแทของกึ่งริง
R
R
R
ทฤษฎีบท 10 กําหนดให N เปน k -กึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล มอดูลยอยของกึ่งมอดูล M เมื่อ a R
M
บนกึ่งริงสลับที่
R
แลว [ N : a ] เปน k -กึ่ง
บทแทรก 11 กําหนดให N เปน k -กึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล มอดูลยอยของกึ่งมอดูล M เมื่อ I เปนไอดีลของ R
M
บนกึ่งริงสลับที่
R
แลว [ N : I ] เปน k -กึ่ง
ทฤษฎีบท 12 สําหรับทุก ๆ มอดูลยอยปฐมภูมิจะเปนมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ บทตั้ง 13 กําหนดให N เปน k -กึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M บนกึ่งริงสลับที่ R จะไดวาขอความตอไปนี้ สมมูลกัน 1. N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M 2. สําหรับ แตล ะกึ่ง มอดูลยอ ย K ของ M และ a, b R ถา abK N แลว aK N หรือ b n K N , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n ทฤษฎีบท 14 กําหนดให N เปน k -กึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M บนกึ่งริงสลับที่ มอดู ล ยอ ยปฐมภู มิ เ ชิ ง แบบฉบั บ ของ M ก็ ต อ เมื่ อ สํ าหรั บ แต ล ะกึ่ง มอดูล ย อ ย K N , N : K เปนไอดีลปฐมภูมิของ R
แลวจะไดวา N เปนกึ่ง K ของ M โดยที่
R
55 ทฤษฎีบท 15 กําหนดให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M บนกึ่งริงสลับที่ R แลวจะไดวา N เปนกึ่ง มอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M ก็ตอเมื่อหรับแตละ m M โดยที่ m N , N : m เปนไอดีลปฐมภูมิ ของ R ทฤษฎีบท 16 กําหนดให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M บนกึ่งริงสลับที่ R ถา N เปนกึ่งมอดูลยอย ปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M , แลว [ N : c] เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M , เมื่อ c R ทฤษฎีบท 17 กําหนดให R เปนกึ่งริงสลับที่ที่มีเอกลักษณและให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M บน R ถา [ N : c] เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M , แลว N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ของ M , เมื่อ c R บทแทรก 18 กําหนดให R เปนกึ่งริงสลับที่ที่มีเอกลักษณและให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M บน R จะไดวา N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M ก็ตอเมื่อ [ N : c] เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบ ฉบับของ M , เมื่อ c R บทตั้ง 19 กําหนดให
N
r ( N : x) \ ( N : y ),
เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ของ M บนกึ่งริงสลับที่ เมื่อ x M และ y M \ N , แลว N : y N : ry
R
และให
ทฤษฎีบท 20 กําหนดให N เปน k -กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M บนกึ่งริงสลับที่ และ y M \ N ถา ( N : x) \ ( N : y) , แลว N ( N Rx ) ( N Ry )
rR
ถา
R, x M
ทฤษฎีบท 21 กําหนดให N เปน k -กึ่งมอดูลยอยของ M บนกึ่งริงสลับที่ R, จะไดวาขอความตอไปนี้สมมูลกัน 1. N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M 2. สําหรับแตละ x M และ y M \ N , ถา ( N : x) \ ( N : y) , แลว N ( N Rx) ( N R )
ทฤษฎีบท 22 กําหนดให N เปน k -กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M บนกึ่งริงสลับที่ และ y M \ N ถา rx N , แลว N ( N Rx ) ( N Rr n y ) สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n
R, x M
56 ทฤษฎีบท 23 กําหนดให N เปน k -กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M บนกึ่งริงสลับที่ที่มีเอกลักษณ R, ถา N เปนกึ่งมอดูลยอยลดทอนไมไดของ M , แลว N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิของ M บทตั้ง 24 ถา N และ K เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, และ N ไมเปนเซตยอยของ ถา K เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของ M แลว N K เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของ N บทตั้ง 25 ถา
K
เปนกึ่งมอดูลยอยแทของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, และ PM N (N , P) {x M | cx PM N , เมื่อ c R - P
P
เปนไอดีลแทของ
R,
แลว
บทตั้ง 26 ถา N เปนกึ่งมอดูลยอยแทของกึ่งมอดูลของ (N , P) เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูลของ M
P
เปนไอดีลแทของ
R,
แลว
N
M
บนกึ่งริง
R,
ทฤษฎีบท 27 ถา N เปนกึ่งมอดูลยอยแทของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง แลว (N, P) M หรือ (N , P) เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิของ M
และ
และ
P
เปนไอดีลปฐมภูมิของ R,
บทแทรก 28 ถา N เปนกึ่งมอดูลยอยแทของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, และ แลว (N, P) M หรือ (N , P) เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของ M พิสูจน สามารถแสดงไดในทํานองเดียวกันกับทฤษฎีบท 4.3.3
P
เปนไอดีลปฐมภูมิของ R,
ทฤษฎีบท 29 กําหนดให
R,
และ K เปนกึ่ ง มอดูล ยอ ยของกึ่ง มอดูล ของ เมื่อ N K
M
บนกึ่ง ริง
R,
แลวจะไดว า
M
บนกึ่ง ริง
R,
แลวจะไดว า
c. prad K ( N ) c. prad M ( N )
และ K เปนกึ่ ง มอดูล ยอ ยของกึ่ง มอดูล ของ เมื่อ N K
บทแทรก 31 กํา หนดให
และ
M
บนกึ่ ง ริง
R,
แลวจะไดว า
N
c. prad M ( N ) c. prad M ( K )
ทฤษฎีบท 30 กําหนดให
N
เป นกึ่ง มอดูล ยอ ยของกึ่ง มอดู ล ของ c. prad K ( N ) c. prad M ( N ) c. prad M ( K ) เมื่อ N K N
K
57 ทฤษฎีบท 32 กําหนดให
N
และ
K
เปนกึ่ง มอดูล ยอ ยของกึ่ง มอดูล ของ
M
บนกึ่ง ริง
R,
แลวจะไดว า
M
บนกึ่ง ริง
R,
แลวจะไดว า
c. prad M (c. prad M ( N )) c. prad M ( N )
ทฤษฎีบท 33 กําหนดให
N
และ
K
เปนกึ่ ง มอดูล ยอ ยของกึ่ง มอดูล ของ
c. prad M ( N K ) c. prad M ( N ) c. prad M ( K )
ทฤษฎีบท 34 กําหนดให
N
และ
K
เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูลของ
M
บนกึ่งริง
R,
แลวจะไดวา
c. prad M ( N K ) c. prad M ( N ) c. prad M ( K )
ทฤษฎีบท 35 กําหนดให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R แลวจะไดวา c. prad M ( N ) {(N , P)∣ P เปนไอดีลปฐมภูมิของ R}
R,
ถา
P
เปนไอดีลปฐมภูมิของ
ทฤษฎีบท 36 กําหนดให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R แลวจะไดวา prad M ( N ) {(N , P)∣ P เปนไอดีลปฐมภูมิของ R}
R,
ถา
P
เปนไอดีลปฐมภูมิของ
ทฤษฎี บ ท 37
M
บนกึ่ ง ริ ง
กํ า หนดให
N
เป น กึ่ ง มอดู ล ย อ ยของกึ่ ง มอดู ล ของ
R,
แล ว จะได ว า
c. prad M ( N ) prad M ( N )
บทตั้ง 38 กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri แลวจะไดวากึ่งมอดูลยอย N1 M 2 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M ก็ตอเมื่อ N1 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับ ของกึ่งมอดูล M 1 บทแทรก 39 กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri แลวจะไดวากึ่งมอดูล ยอย M1 N2 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M ก็ตอเมื่อ N2 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบ ฉบับของกึ่งมอดูล M 2
58 บทแทรก 40 กําหนดให
n
M M i ,
เปนกึ่งมอดูลเมื่อ
Mi
เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง
Ri
แลวจะไดวากึ่งมอดูลยอย
i 1
เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล N j
M 1 M 2 M j 1 N j M j 1 M n Nj
M
ก็ตอเมื่อ
ทฤษฎีบท 41 กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ถา N1 n เปนกึ่ง มอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M , แลว N1 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M1 , สําหรับแตละ n M 1 บทแทรก 42 กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ถา n N 2 เปนกึ่ง มอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M , แลว N2 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 2 , สําหรับแตละ n M 2 บทแทรก 43
กํ า หนด ให
n
M M i ,
เ ป น กึ่ ง มอ ดู ล เมื่ อ
Mi
เป น กึ่ ง มอดู ล บนกึ่ ง ริ ง
Ri
ถ า
i 1
m1 m2 N j mn เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M , แลว มอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 2 , สําหรับแตละ mi M i
บทตั้ง 44 กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M และ เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 1
Mi
เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง
Ri
P {x M 1 : ( x, y ) W },
Nj
เปนกึ่ง
ที่มีเอกลักษณ ถา W แลว P M 1 หรือ P
บทแทรก 45 กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ที่มีเอกลักษณ ถา W เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M และ P {x M 2 : (0, x) W }, แลว P M 2 หรือ P เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 2
59 บทแทรก 46 กําหนดให
n
M M i ,
เปนกึ่งมอดูล เมื่อ
เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง
Mi
Ri
ที่มีเอกลักษณ ถา W
i 1
เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล
และ
M
P {x M j : (m1 , m2 ,, x, m j 1 , , mn ) W },
แลว
PMj
หรือ
P
เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล
Mj
ทฤษฎีบท 47 กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ที่มีเอกลักษณ และให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M 1 จะไดวา m c. prad M N ก็ตอเมื่อ m, y c. prad M N y . 1
1
บทแทรก 48 กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ที่มีเอกลักษณ และให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M 2 จะไดวา m c. prad M ( N ) ก็ตอเมื่อ ( x, m) c. prad M ({x} N ) 2
บทแทรก 49 กําหนดให
n
M M i ,
เปนกึ่งมอดูลเมื่อ
เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง
Mi
Ri
ที่มีเอกลักษณ และให
i 1
N
เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล
Mj
จะไดวา
m c. prad M j ( N )
ก็ตอเมื่อ
( x1 , , m, x j 1 , , xn ) c. prad M ({ x1} x2 N x j 1 xn ).
ทฤษฎีบท 50 กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ Ni เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M i , จะไดวา
Mi
เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง
ที่มีเอกลักษณ และให
Ri
c. prad M1 ( N1 ) c. prad M 2 ( N 2 ) c. prad M ( N1 N 2 )
บทแทรก 51 กําหนดให
n
M M i ,
เปนกึ่งมอดูลเมื่อ
เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง
Mi
Ri
ที่มีเอกลักษณ และให
i 1
Ni
เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล
n
Mi ,
n
จะไดวา c. pradM ( Ni ) c. pradM ( Ni ) i
i 1
i 1
ทฤษฎีบท 52 กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ที่มีเอกลักษณ ถา N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M1 , จะไดวา c. prad M ( N1 ) c. pradM (M 2 ) c. prad M ( N1 M 2 ). 1
2
60 บทแทรก 53 กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ที่มีเอกลักษณ ถา N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M 2 , จะไดวา c. prad M M 2 N c. prad M M 2 c. prad M N พิสูจน สามารถพิสูจนไดในทํานองเดียวกันกับทฤษฎีบท 4.6.9 1
n
บทแทรก 54 กําหนดให
M M i ,
เปนกึ่งมอดูลเมื่อ
2
เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง
Mi
Ri
ที่มีเอกลักษณ ถา Ni
i 1
เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล
Mi ,
จะไดวา
n
n
c. prad Mi (M i N j ) c. pradM ( M i ) c. pradM j ( N j ) i 1
i 1
ทฤษฎี บ ท 56 กํ า หนดให M M1 M 2 , เป น กึ่ ง มอดู ล เมื่ อ M i เป น กึ่ ง มอดู ล บนกึ่ ง ริ ง N N1 N 2 เปนกึ่งมอดูลยอยของ M แลว EM N EM N1 EM N 2 . 1
บทแทรก 57 กําหนดให
n
M Mi ,
เปนกึ่งมอดูลเมื่อ
Ri
i 1
เปนกึ่งมอดูลยอยของ
M
แลว
และให
2
เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง
Mi
Ri
และให
n
N Ni i1
n
EM N
EM i N i .
i 1
ทฤษฎีบท 58 กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ที่มีเอกลักษณ ถา N1 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M1 , แลวจะไดวา N1 เปนสูตรรากของกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบ ฉบับในกึ่งมอดูล M 1 ก็ตอเมื่อ N1 M 2 เปนสูตรรากของกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับในกึ่งมอดูล M บทแทรก 59 กําหนดให
n
M M i ,
เปนกึ่งมอดูลเมื่อ
Mi
เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง
Ri
ที่มีเอกลักษณ ถา N j
i 1
เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M j , แลวจะไดวา N j เปนสูตรรากของกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ แบบฉบับในกึ่งมอดูล M j ก็ตอเมื่อ M1 M 2 M j1 N j M j1 M n เปนสูตรรากของกึ่งมอดูล ยอยปฐมภูมิแบบฉบับในกึ่งมอดูล M
61
5.2. อภิปรายผล การทําวิจัยครั้งนี้ผูวิจัยมีประเด็นที่จะอภิปรายผลขอคนพบที่นาสนใจ คือ ผลการปฏิบัติการในการจัดทํา วิจัยประกอบดวย 4 ขั้นตอน ไดแก ขั้นตอนที่ 1 การวางแผนการจัดการ เปนขั้นตอนที่ผูวิจัยศึกษาวิเคราะหองคประกอบและปจจัย ตาง ๆ ที่เกี่ยวของในการจัดการ ไดแก ขั้นตอนการจัดการทําวิจัย การสํารวจ เก็บขอมูล ประสบการณและพื้นฐาน การเรียนรู วิธีการเรียนรู ขั้นตอนที่ 2 การวางแผนการทําวิจัยการศึกษาหาความรูเรื่อง มอดูล มอดูลเฉพาะ มอดูลเฉพาะ แบบออน และพัฒนาดัดแปลงตอยอดความรูตาง ๆ เพื่อสรางทฤษฏีบทใหม ๆ ขั้นตอนที่ 3 สํารวจรวบรวมขอมูล ขั้นตอนที่ 4 วิเคราะหขอมูล
5.3. ขอเสนอแนะ ผลจากการจัดทําวิจัยมีวัตถุประสงคเพื่อการนําความรูมาใชใหเกิดประโยชนในการสรางทฤษฎีบทตาง ๆ โดยมีขอเสนอแนะในการทํางานวิจัยสําหรับผูที่สนใจดังนี้ 1. ในการทํางานวิจัยนี้เราศึกษามอดูลบนริงสลับที่ที่มีเอกลักษณในทํานองเดียวกันเราอาจไปศึกษาบนริง หรือ กึ่งริง ที่ไมมีเอกลักษณ 2. ในการทําวิจัยนี้เราศึกษาบน R -module ในทํานองเดียวกันเราอาจศึกษาบน R, S -module
