บทที่ 4 ผลการวิจัย ในบทนี้ไดอธิบายลักษณะเฉพาะบางประการที่สําคัญของ k -กึ่งมอดูลยอย ( k -subsemimodule), กึ่ง มอดูลยอ ยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (classical primary subsemimodule), กึ่ง มอดูลยอยปฐมภูมิ (primary subsemimodule) และกึ่งมอดูลยอยกึ่งเฉพาะ (semiprime subsemimodule) ในกึ่งมอดูล (semimodule) บนกึ่งริง (semiring) และไดจําแนกลักษณะเฉพาะบางประการของสิ่งที่ไดกลาวไปขางตนแนวคิดเหลานี้ถูกขยายมา จากมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (primary submodule), มอดูลยอยปฐมภูมิแบบออน (weakly primary submodule) และมอดูลยอยกึ่งเฉพาะ (semiprime submodule) ในมอดูล (module) บนริง (ring) นอกจากนี้ ไดหาความสัมพันธระหวางรากปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของกึ่งมอดูล (classical primary radical of semimodule) กับรากปฐมภูมิของกึ่งมอดูล (radical primary of semimodule) ทายสุดนี้ไดเงื่อนไขที่จําเปนและเพียงพอของกึ่ง มอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (classical primary subsemimodule) ที่จะเปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ (primary subsemimodule)
4.1. ไอดีลในกึ่งริง (ideal in commutative semiring) ในหัวขอนี้ไดอธิบายลักษณะที่สําคัญสมบัติบางประการของไอดีลปฐมภูมิ (primary ideal), ไอดีลปฐมภูมิ เชิงแบบฉบับ (classical primary ideal), ไอดีลเสมือนปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (classical quasi-primary ideal) และไอดีลเฉพาะ (prime ideal) ในกึ่งริงสลับที่ (commutative semiring) บทนิยาม 4.1.1. กําหนดให P เปนไอดีลแทของกึ่งริง R จะเรียก P วาไอดีลปฐมภูมิ (Primary Ideal) ถา ab P , เมื่อ a, b R , แลว a P หรือ b n P, สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n บทนิยาม 4.1.2. กําหนดให P เปนไอดีลแทของกึ่งริง R จะเรียก P วาไอดีลปฐมภูมิแ บบฉบับ (classical primary ideal) ถา abI P, เมื่อ a, b R, และสําหรับแตละไอดีล I ของ R แลว aI P หรือ b n I P, สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n
28 บทตั้ง 4.1.3. กําหนดให P เปนไอดีลแทของกึ่งริง R ถา P เปนไอดีลปฐมภูมิของ R แลว P เปนไอดีลปฐม ภูมิเชิงแบบฉบับของ R พิสูจน สมมติ ให P เปนไอดีลปฐมภูมิของ R จะแสดงวา P เปนไอดีล ปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ของ R ให abJ P, สําหรับทุก ๆ a, b R และ J เปนไอดีลของ R โดยที่ bJ P ดังนั้นจะมี x bJ ซึ่ง x P เนื่อ งจาก P ไอดีลปฐมภูมิของและ ax P, จะไดวา a n P, สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n นั่นคือ a n J P, สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n สามารถสรุปไดวา P เปนไอดีลปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ R บทตั้ง 4.1.4. กําหนดให P เปนไอดีลแทของกึ่งริง R ถา P เปนไอดีลปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ของ R แลว P : I เปนไอดีลปฐมภูมิของ R สําหรับแตละไอดีล I ของ R โดยที่ I P พิสูจน สมมติให P เปนไอดีลปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ R จะแสดงวา P : I เปนไอดีลปฐมภูมิของ R สําหรับ แตละไอดีล I ของ R โดยที่ I P ให ab P : I , เมื่อ a, b R. จะได abI P, ดังนั้น aI P หรือ b n I P, สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n นั่นคือ a P : I หรือ b n P : I , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n สามารถสรุปไดวา P : I เปนไอดีลปฐมภูมิของ R บทตั้ง 4.1.5. กําหนดให P เปนไอดีลแทของกึ่งริง R ถา P : I เปนไอดีลปฐมภูมิของ R สําหรับแตละไอดีล I ของ R โดยที่ I P แลว P เปนไอดีลปฐมภูมิของ R พิสูจน สมมติให P : I เปนไอดีลปฐมภูมิของ R สําหรับแตละไอดีล I ของ R โดยที่ I P จะแสดงวา P เปนไอดีลปฐมภูมิของ R กําหนดให I R โดยสมมติฐานเราจะไดวา P P : R เปนไอดีลปฐมภูมิของ R บทตั้ง 4.1.6. กําหนดให
ถา P : I เปนไอดีลปฐมภูมิของ R สําหรับแตละไอดีล I ของ R โดยที่ I P แลว P : I เปนไอดีลเฉพาะของ R พิสูจน สมมติให P : I เปนไอดีลปฐมภูมิของ R สําหรับแตละไอดีล I ของ R โดยที่ I P จะแสดงวา n P : I เปนไอดีลเฉพาะของ R ให ab P : I จะไดวา a nb n ab P : I สําหรับบางจํานวนเต็ม บวก
n
P
R
เนื่องจาก P : I เปนไอดีลปฐมภูมิของ
สําหรับบางจํานวนเต็มบวก เฉพาะของ
เปนไอดีลแทของกึ่งริง
R
k
ดังนั้น
a
R
P : I หรือ
จะไดวา b
an P : I
หรือ
k
b nk b n P : I
P : I สามารถสรุปไดวา P : I เปนไอดีล
29 ทฤษฎีบท 4.1.7. กําหนดให P เปนไอดีลแทของกึ่งริง R จะไดวาขอความตอไปนี้สมมูลกัน 1. P เปนไอดีลปฐมภูมิของ R 2. P เปนไอดีลปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ R 3. P : I เปนไอดีลปฐมภูมิของ R สําหรับแตละไอดีล I ของ R โดยที่ I P พิสูจน เปนผลมาจากบทตั้ง 4.1.3 ถึงบทตั้ง 4.1.6 บทนิย าม 4.1.8. กําหนดให P เปนไอดีล แทของกึ่ง ริง R จะเรียก P วาไอดีล เสมือนปฐมภูมิแ บบฉบับ (Classical Quasi-Primary Ideal) ถา abI P, เมื่อ a, b R, และสําหรับแตละไอดีล I ของ R แลว a n I P หรือ b n I P, สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n บทตั้ง 4.1.9. กําหนดให P เปนไอดีลแทของกึ่งริง R ถา P เปนไอดีลเสมือนปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ของ P : I เปนไอดีลเฉพาะของ R สําหรับแตละไอดีล I ของ R โดยที่ I P พิสูจน สมมติให ละไอดีล
I
ของ
จํานวนเต็มบวก บวก
k
P R
เปนไอดีลเสมื่อนปฐมภูมิของ โดยที่
I P
ให
ab
R
จะแสดงวา P : I เปนไอดีลเฉพาะของ
P : I , เมื่อ
a, b R
R
R
แลว
สําหรับแต
จะไดวา ab n P : I , สําหรับบาง
ดังนั้น ab n I P เนื่องจาก P เปนไอดีลเสมื่อนปฐมภูมิของ R, ดังนั้นจะมีจํานวนเต็ม โดยที่ a nk I P หรือ b nk I P, จะไดวา a P : I หรือ b P : I สามารถสรุปไดวา n
P : I เปนไอดีลเฉพาะของ
บทตั้ง 4.1.10. กําหนดให
R
ถา P : I เปนไอดีลเฉพาะของ R สําหรับแตละไอ ดีล I ของ R โดยที่ I P แลว P เปนไอดีลเสมือนปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ R พิสูจน สมมติให P : I เปนไอดีลเฉพาะของ R สําหรับแตละไอดีล I ของ R โดยที่ I P แลว P เปน P
เปนไอดีลแทของกึ่งริง
R
ไอดีลเสมื่อนปฐมภูมิของ R จะแสดงวา P เปนไอดีลเสมื่อนปฐมภูมิของ R ให abI P, เมื่อ a, b R. จะได วา ab P : I P : I เนื่อ งจาก P : I เปนไอดีล เฉพาะของ R, จะไดวา P : I R หรือ P : I เปนไอดีลเฉพาะของ b
P : I , เห็นไดชัดวา
เปนไอดีลเสมื่อนปฐมภูมิของ
R,
an I P
R
ขึ้นอยูกับวา หรือ
PI
b n I P,
หรือ
PI,
สรุปไดวา
สําหรับบางจํานวนเต็มบวก
n
a
P : I หรือ
สามารถสรุปไดวา
P
30 ทฤษฎีบท 4.1.11. กําหนดให P เปนไอดีลแทของกึ่งริง R จะไดวา P เปนไอดีลเสมือนปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ของ R ก็ตอเมื่อ P : I เปนไอดีลเฉพาะของ R สําหรับแตละไอดีล I ของ R โดยที่ I P พิสูจน เปนผลมาจากบทตั้ง 4.1.9 และบทตั้ง 4.1.10
4.2. กึ่งมอดูยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (classical primary subsemimodule) ในหั ว ข อ นี้ ไ ด อ ธิ บ ายลั ก ษณะที่ สํ า คั ญ สมบั ติ บ างประการของกึ่ ง มอดู ล ย อ ยปฐมภู มิ (primary subsemimodule), กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (classical primary subsemimodule) ในกึ่งมอดูล (semimodule) บนกึ่งริงสลับที่ (commutative semiring) บทนิยาม 4.2.1. กําหนดให N เปนกึ่งมอดูลยอย (subsemimodule) ของกึ่งมอดูล (semimodule) M บนกึ่ง ริงสลับที่ (commutative semiring) R สําหรับทุก ๆ a R และไอดีล I ของ R กําหนดเซต [ N : a ] และ [ N : I ] ดังนี้ 1. [ N : a ] m M : am N 2. [ N : I ] m M : Im N ขอสังเกต กําหนดให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล I ของ R จะไดวา 1. [ N : a ] และ [ N : I ] 2. N [ N : a] และ N [ N : I ]
M
บนกึ่งริงสลับที่
R
สําหรับทุก ๆ
aR
และไอดีล
ทฤษฎีบท 4.2.2. กําหนดให N เปน k -กึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M บนกึ่งริงสลับที่ R แลว [ N : a ] เปน k -กึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M เมื่อ a R พิสู จ น กํ า หนดให x, x y [ N : a ] โดยบทนิ ย ามของ [ N : a ] จะได ว า ax, a x y N ดั ง นั้ น ax, ax ay N เนื่องจาก N เปน k -กึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M , จะไดวา ay N นั่นคือ y [ N : a] สามารถสรุปไดวา [ N : a ] เปน k -กึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M บทแทรก 4.2.3. กําหนดให N เปน k -กึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล กึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M เมื่อ I เปนไอดีลของ R พิสูจน เปนผลมาจากทฤษฎีบท 4.2.2
M
บนกึ่งริงสลับที่
R
แลว [ N : I ] เปน k -
31 บทนิยาม 4.2.4. กําหนดให N เปนกึ่งมอดูลยอยแท (proper subsemimodule) ของกึ่งมอดูล (semimodule) M บนกึ่ ง ริ ง สลั บ ที่ (commutative semiring) R จะเรี ย ก N ว า กึ่ ง มอดู ล ย อ ยปฐมภู มิ เ ชิ ง (primary subsemimodule) ของ M ถาสําหรับแตละ m M และ a R โดยที่ am N , แลว m N , หรือ a n M N , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n และจะเรียก M วากึ่งมอดูลปฐมภูมิเชิง (primary semimodule) ถาทุก ๆ N เปนกึ่งมอดูลยอยแท N ของ M เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิของ M บทนิยาม 4.2.5. กําหนดให N เปนกึ่งมอดูลยอยแท (proper subsemimodule) ของกึ่งมอดูล (semimodule) M บนกึ่งริงสลับที่ (commutative semiring) R จะเรียก N วากึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (classical primary subsemimodule) ของ M ถาสําหรับแตละ m M และ a, b R โดยที่ abm N , แลว am N , หรือ b n m N , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n และจะเรียก M วากึ่งมอดูลปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (classical primary semimodule) ถาทุก ๆ N เปนกึ่งมอดูลยอยแท N ของ M เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิง แบบฉบับของ M จากบทนิยาม 4.2.4 และบทนิยาม 4.2.5 จะไดความสัมพันธระหวางกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิกับกึ่งมอดูลยอย ปฐมภูมิเ ชิง แบบฉบับ กลาวคือ สําหรับ ทุก ๆ กึ่งมอดูล ยอ ยปฐมภูมิจ ะเปน กึ่ง มอดูล ยอ ยปฐมภูมิเชิง แบบฉบับ สามารถแสดงไดโดยทฤษฎีบท 4.2.6 และมีบางกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับที่ไมเปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิดัง ตัวอยาง 4.2.7 ทฤษฎีบท 4.2.6. สําหรับทุก ๆ มอดูลยอยปฐมภูมิจะเปนมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ พิสูจน สมมติให N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิของกึ่งมอดูล M บนกึ่งริงสลับที่ R โดยที่ b(am) abm N , เมื่อ m M และ a, b R จากบทนิยามของกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิจะไดวา am N หรือ b n M N , สําหรับ บางจํานวนเต็มบวก n ดังนั้น am N หรือ b n m N , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n ดังนั้นจากที่กลาวมา สามารถสรุปไดวา N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M ตัวอยาง 4.2.7. เห็นไดชัดเจนวา 0 4 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ของกึ่งมอดูล บนกึ่งริง ส ลั บ ที่ แ ต ไม เ ป น กึ่ ง ม อ ดู ล ย อ ย ป ฐ ม ภู มิ เ นื่ อ ง จ า ก 4 0,1 0 4 แ ต 0,1 0 4 แ ล ะ 4n 0 4, สําหรับทุก ๆ จํานวนเต็มบวก n จากบทนิยามของกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ และบทนิยามของไอดีล ปฐมภูมิจะไดความสัมพันธ ระหวางกึ่งไอดีลปฐมภูมิเชิงกับกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ดังตอไปนี้
32 บทตั้ง 4.2.8. กําหนดให N เปน k -กึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M บนกึ่งริงสลับที่ R จะไดวาขอความตอไปนี้ สมมูลกัน 1. N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M 2. สําหรับ แตล ะกึ่ง มอดูลยอ ย K ของ M และ a, b R ถา abK N แลว aK N หรือ b n K N , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n พิสูจน 1. 2. สมมติให N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M และ a, b R และให K เปนกึ่ง มอดูลยอยของ M โดยที่ abK N จะแสดงวา aK N หรือ b n K N , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n ถา aK N และ b n K N , สําหรับทุก ๆ จํานวนเต็มบวก n แลวจะมี x, y K ซึ่ง ax N และ b n y N สําหรับทุก ๆ จํานวนเต็มบวก n เนื่องจาก abx, aby abK N จะไดวา b k x N และ ay N สําหรับ บางจํา นวนเต็ ม บวก k เพราะว า N เปน กึ่ ง มอดูล ยอ ยปฐมภูมิเ ชิ ง แบบฉบับ ของ M และ ab x y abK N ดังนั้นจะไดวา ax ay a x y N หรือ b k x bk y b k x y N สําหรับ บางจํานวนเต็มบวก k ถา ax ay N , จะไดวา ax N เพราะวา ay N และ N เปน k -กึ่งมอดูลยอย ของกึ่งมอดูล M , เกิดขอขัดแยง ถา b k x b k y N จะเกอดขอขัดแยงในทํานองเดียว จากที่กลาวมาสามารถ สรุปไดวา aK N หรือ b n K N , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n 2. 1. สมมติใ ห สํา หรั บ แต ล ะกึ่ ง มอดู ล ย อ ย K ของ M และ a, b R ถ า abK N แล ว aK N หรือ b n K N , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n จะแสดงวา N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบ ฉบับของ M ให a, b R และ m M โดยที่ abm N เนื่องจาก abm N จะไดวา ab m N จาก สมมติฐานจะไดวา am a m N หรือ b n m b n m N , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n สามารถ สรุปไดวา N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M ทฤษฎีบท 4.2.9. กําหนดให N เปน k -กึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M บนกึ่งริงสลับที่ R แลวจะไดวา N เปน กึ่ง มอดูล ย อ ยปฐมภู มิเ ชิ ง แบบฉบับ ของ M ก็ ตอ เมื่อ สํ าหรั บ แตล ะกึ่ง มอดู ล ยอ ย K ของ M โดยที่ K N , N : K เปนไอดีลปฐมภูมิของ R พิสูจน สมมติให N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ของ M จะแสดงวาสําหรับแตละกึ่งมอดูลยอย K ของ M โดยที่ K N , N : K เปนไอดีลปฐมภูมิของ R ให ab N : K , เมื่อ a, b R โดยบท นิยามของ N : K จะไดวา abK N จากบทตั้ง 4.2.8 จะไดวา aK N หรือ b n K N , สําหรับบาง จํานวนเต็มบวก n ดังนั้นจะไดวา a N : K หรือ b n N : K , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n จากที่ กลาวมาสามารถสรุปไดวา N : K เปนไอดีลปฐมภูมิของ R
33 สมมติให N : K เปนไอดีลปฐมภูมิของ R, สําหรับแตละกึ่งมอดูลยอย K ของ M โดยที่ K N จะแสดงวา N กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ของ M ให abK N , เมื่อ a, b R โดยบท นิยามของ N : K จะไดว า ab N : K เนื่อ งจาก N : K เป นไอดีล ปฐมภูมิของ R, จะไดว า a N : K หรือ b n N : K , สํ าหรับ บางจํ านวนเต็ มบวก n โดยบทนิย ามของ N : K จะไดว า aK N หรือ b n K N , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n โดยบทตั้ง 4.2.8 จะไดวา N กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ เชิงแบบฉบับของ M
ทฤษฎีบท 4.2.10. กําหนดให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M บนกึ่งริงสลับที่ R แลวจะไดวา N เปนกึ่ง มอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M ก็ตอเมื่อหรับแตละ m M โดยที่ m N , N : m เปนไอดีลปฐมภูมิ ของ R พิสูจน สมมติให N กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M จะแสดงวา N : m เปนไอดีลปฐมภูมิของ R หรับแตละ m M โดยที่ m N ให ab N : m , เมื่อ a, b R โดยบทนิยามของ N : m จะไดวา abm N และโดยบทนิยามกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M ไดวา am N หรือ b n m N , สําหรับ บางจํานวนเต็มบวก n ดังนั้น a N : m หรือ b n N : m , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n จากที่กลาวมา สามารถสรุปไดวา N : m เปนไอดีลปฐมภูมิของ R สมมติให N : m เปนไอดีลปฐมภูมิของ R, หรับแตละ m M โดยที่ m N จะแสดงวา N กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ของ M ให abm N , เมื่อ a, b R โดยบทนิยามของ N : m จะไดวา ab N : m แตเนื่องจาก N : m เปนไอดีลปฐมภูมิของ R, จะไดวา a N : m หรือ b n N : m , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n และโดยบทนิยามของ N : m จะไดวา am N หรือ b n m N , สําหรับบาง จํานวนเต็มบวก n จากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M . ทฤษฎีบท 4.2.11. กําหนดให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M บนกึ่งริงสลับที่ R ถา N เปนกึ่งมอดูล ยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M , แลว [ N : c ] เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M , เมื่อ c R พิสูจน กําหนดให abm [ N : c], เมื่อ a, b, c R และ m M โดยบทนิยามของ [ N : c] จะไดวา ca bm c abm N เนื่องจาก ca bm N และ N กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ของ M , จะได วา cam N หรือ b n m N , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n และโดยบทนิยามของ [ N : c] จะไดวา am [ N : c] หรือ b n m N [ N : c ], สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n ดังนั้น [ N : c ] เปนกึ่งมอดูลยอยปฐม ภูมิเชิงแบบฉบับของ M
34 ทฤษฎีบท 4.2.12. กําหนดให R เปนกึ่งริงสลับที่ที่มีเอกลักษณและให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M บน R ถา [ N : c ] เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ของ M , แลว N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบ ฉบับของ M , เมื่อ c R พิสูจน กําหนดให abm N , เมื่อ a, b R และ m M โดยบทนิ ยามของ [ N : c] จะไดว า 1bm bm [ N : a ] เนื่องจาก 1bm [ N : a ] และ [ N : a ] เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ของ M , จะไดวา m 1m N [ N : a ] หรือ b n m N , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n ดังนั้นจะไดวา am N หรือ b n m N , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n จากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบ ฉบับของ M บทแทรก 4.2.13. กําหนดให R เปนกึ่งริงสลับที่ที่มีเอกลักษณและให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M บน R จะไดวา N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ของ M ก็ตอเมื่อ [ N : c ] เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิง แบบฉบับของ M , เมื่อ c R พิสูจน เปนผลมาจากทฤษฎีบท 4.2.11 และทฤษฎีบท 4.2.12 บทตั้ง 4.2.14. กําหนดให N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M บนกึ่งริงสลับที่ R และให r R ถา r ( N : x) \ ( N : y), เมื่อ x M และ y M \ N , แลว N : y N : ry พิสูจน สมมติใ ห r ( N : x) \ ( N : y), เมื่ อ x M และ y M \ N , เริ่ ม ตนเราจะแสดงว า ( N : y ) ( N : ry ) ให a ( N : y ) โดยบทนิยามของ ( N : y ) จะไดวา ay N เนื่องจาก N เปนกึ่งมอดูล ยอยของ M , จะไดวา a(ry ) r (ay ) rN N , สําหรับทุก ๆ r R และโดยบทนิยามของ ( N : y ) จะได วา a ( N : ry ) ดังนั้นจะไดวา ( N : y ) ( N : ry) ตอไปเราจะแสดงวา ( N : ry ) ( N : y) ให a ( N : ry ) โดยบทนิยามของ ( N : y ) จะไดวา (ar ) y a (ry ) N นั่นคือ ar ( N : y ) เพราะวา N เปนกึ่งมอดูลยอย ปฐมภู มิ เ ชิ ง แบบฉบั บ ของ M จะได ว า ( N : y ) เป น ไอดี ล ปฐมภู มิ ข อง R นั่ น คื อ a ( N : y ) หรื อ r n ( N : y ), สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n โดยสมมติฐานจะไดวา a ( N : y ) ดังนั้น ( N : ry ) ( N : y ) จากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา N : y N : ry
35 ทฤษฎีบท 4.2.15. กําหนดให N เปน k -กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเ ชิงแบบฉบับของ M บนกึ่ง ริง สลับที่ R, x M และ y M \ N ถา ( N : x ) \ ( N : y ) , แลว N ( N Rx ) ( N Ry ) พิสูจน เห็นไดชัดเจนวา N ( N Rx) ( N Ry ) ตอไปเราจะแสดงวา ( N Rx) ( N Ry ) N ให t ( N Rx ) ( N Ry ) จะไดวา n1 r1 x t n2 r2 y, สําหรับบาง n1 , n2 N และ r1 , r2 R เนื่องจาก ( N : x ) \ ( N : y ) , ดัง นั้น จะมี r ( N : x) \ ( N : y ) โดยที่ rx N และ rr1 x r1rx N ซึ่ ง rn1 , rr1 x, rn2 N แตเนื่องจาก rt rn1 rr1 x rn2 rr2 y, จะไดวา rn2 rr2 y N นั่นคือ rr2 y N โดย บทนิยามของ ( N : ry ) เราจะไดวา r2 ( N : ry) แตจากบทตั้ง 4.2.12 จะไดวา N : y N : ry ดังนั้นเรา จะไดวา ( N Rx) ( N Ry ) N จากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา N ( N Rx ) ( N Ry ) ทฤษฎีบท 4.2.16. กําหนดให N เปน k -กึ่งมอดูลยอยของ M บนกึ่งริงสลับที่ R, จะไดวาขอความตอไปนี้ สมมูลกัน 1. N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M 2. สําหรับแตละ x M และ y M \ N , ถา ( N : x) \ ( N : y) , แลว N ( N Rx) ( N R )
พิสูจน 1. 2. เปนผลมาจากทฤษฎีบท 4.2.15 2. 1. จะตองแสดงวา N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M สําหรับแตละ x M และ y M \ N , โดยการแสดงวา ( N : y ) เปนไอดีล ปฐมภูมิของ R ให a, b R โดยที่ ab ( N : y ) โดยบท นิยามของไอดีลปฐมภูมิเราตองแสดงวา a ( N : y ) หรือ b n ( N : y) สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n สมมติให b ( N : y ) เนื่อ งจาก ab ( N : y ), จะไดว า b ( N : ay ) ดัง นั้น ( N : ay ) \ ( N : y ) นั่ นคื อ N ( N Ray ) ( N Ry ) แตเนื่องจาก ay ( N Ray ) ( N Ry ), จะไดวา ay N โดยบทนิยามของ ( N : y ) จะไดวา a ( N : y ) จากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา ( N : y ) เปนไอดีลปฐมภูมิของ R โดยทฤษฎีบท 4.2.8 จะไดวา N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของ M ทฤษฎีบท 4.2.17. กําหนดให N เปน k -กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเ ชิงแบบฉบับ ของ M บนกึ่ง ริง สลับที่ R, x M และ y M \ N ถา rx N , แลว N ( N Rx) ( N Rr n y ) สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n พิสูจน ให rx N และ r R เห็นไดชัดเจนวา N ( N Rx) ( N Rr n y), สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n ตอไปเราจะแสดงวา ( N Rx) ( N Rr n y ) N , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n โดยการแบงการพิสูจน ออกเปน 2 กรณีดังนี้
36 กรณีที่ 1. ถามีสําหรับบางจํานวนเต็มบวก n โดยที่ r n y N เนื่องจาก N เปนกึ่งมอดูลยอยของ M จะไดวา Rr n y N นั่นคือ ( N Rx) ( N Rr n y ) N , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n กรณีที่ 2. ถาไมมีจํานวนเต็มบวก n ใด ๆ โดยที่ r n y N โดยบทนิยามของ ( N : y) จะไดวา r n ( N : y) แต เ นื่ อ งจาก rx N , นั่ น คื อ r ( N : x) โดยบทนิ ย ามผลต า งจะได ว า ( N : x) \ ( N : y ) โดยทฤษฎี บ ท 4.2.14.จะได ว า N ( N Rx ) ( N Ry ) แต เ นื่ อ งจาก ( N Rr n y ) ( N Ry ), สําหรับทุก ๆ จํานวนเต็มบวก n จะไดวา ( N Rx) ( N Rr n y ) ( N Rx) ( N Ry ) N ,
สําหรับทุก ๆ จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มบวก n
n
จากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา
N ( N Rx) ( N Rr n y )
สําหรับบาง
บทนิยาม 4.2.18. กําหนดให N เปนกึ่งมอดูลยอยของ M บนกึ่งริงสลับที่ R, จะเรียก N วาเปนกึ่งมอดูลยอย ลดทอนไมได (irreducible subsemimodule) ถาสําหรับแตละกึ่งมอดูลยอย N1 และ N 2 ของ M โดยที่ N N1 N 2 , แลว N N1 หรือ N N 2 ทฤษฎีบท 4.2.19.กําหนดให N เปน k -กึ่ง มอดูล ยอ ยปฐมภูมิเ ชิงแบบฉบับ ของ M บนกึ่งริง สลับ ที่ที่มี เอกลักษณ R, ถา N เปนกึ่งมอดูลยอยลดทอนไมไดของ M , แลว N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิของ M พิสูจน เห็นไดชัดเจนวา N เปนกึ่งมอดูลยอยแทของ M ดังนั้นจะมี y M \ N ให r R และ x M โดย ที่ rx N จะตองแสดงวา x N หรือ r n M N , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n สมมติให r n M N , สําหรับทุก ๆ จํานวนเต็มบวก n โดยทฤษฎีบท 4.2.15. จะไดวา N ( N Rx) ( N Rr k y), สําหรับบาง จํานวนเต็มบวก k แตเนื่องจาก N เปนกึ่งมอดูลยอยลดทอนไมไดของ M , จะไดวา N N Rx หรือ N N Rr k y และเพราะวา r n M N , สําหรับทุก ๆ จํา นวนเต็มบวก n จะไดว า r k y N นั่นคื อ N N Rx ดังนั้นเราจะไดวา x 1x Rx N จากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา N เปนกึ่งมอดูลยอยปฐม ภูมิของ M บทตั้ง 4.2.20. ถา N และ K เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, และ N ไมเปนเซตยอยของ K ถา K เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของ M แลว N K เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของ N พิสูจน กําหนดให K เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของ M เรากําลังจะแสดงวา N K เปนกึ่งมอดูลยอย ปฐมภูมิแบบฉบับของ N เห็นไดชัดวา N K เปนกึ่งมอดูลยอยของ N ตอไปจะแสดงสมบัติกึ่งมอดูลยอยปฐม ภูมิแบบฉบับของ N K ให abm N K เมื่อ a, b R และ m N สมมติให am N K และ
37 สําหรับ ทุก ๆ จํานวนเต็มบวก n เนื่อ งจาก abm N K จะไดวา abm N และ abm K เพราะวา abm K และ K เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของ M เราจะไดวา am K หรือ bnm K สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n แตเนื่องจาก m N เราจะไดวา am N และ bn m N นั่นคือ am N K หรือ bnm N K สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n เกิดขอขัดแยง จากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา N K เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิของ N bnm K
4.3. สมบัติบางประการของ (N , P) (some basic properties of (N , P) ) ในหัวขอนี้ไดอธิบายลักษณะเฉพาะที่สําคัญและสมบัติบางประการของเซต (N , P) เมื่อ N เปนกึ่งมอดูล ยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (classical primary subsemimodule) ในกึ่งมอดูล (semimodule) M บนกึ่งริงสลับ ที่ (commutative semiring) R และ P เปนไอดีลปฐมภูมิใน R โดยเริ่มตนจากการศึกษาบทตั้ง ดังนี้ บทตั้ง 4.3.1. ถา N เปนกึ่งมอดูลยอยแทของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, และ P เปนไอดีลแทของ R, แลว PM N (N , P ) {x M | cx PM N , เมื่อ c R - P . พิสูจน ให x PM N จะไดวา x pm k, เมื่อ p P, m M และ k N เนื่องจาก P เปนไอดีล แทของ R, ดังนั้นจะมี 1 R - P โดยที่ 1x x pm k PM N จากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา x (N , P ) ดังนั้น PM N (N , P ). บทตั้ง 4.3.2. ถา N เปนกึ่งมอดูลยอยแทของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, และ P เปนไอดีลแทของ R, แลว (N , P) เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูลของ M พิสูจน โดยบทตั้ง 4.3.1 จะไดวา (N , P) ตอไปจะแสดงสมบัติกึ่งมอดยอยของ (N , P) ให r R และ x, y (N , P ) เนื่องจาก P เปนไอดีลแทของ R, จะไดวา P R ดังนั้น R - P ดังนั้นจะมี c1, c2 โดยที่ c1 , c2 R - P ซึ่ง c1x, c2y PM N แลวจะไดวา c1x p1m1 n1 และ c2y p2m2 n2 , เมื่อ p1, p2 P, m1, m2 M และ n1, n2 N พิจารณา c1c2 (x y )
c1c2x c1c2y
c2 (c1x ) c1(c2y )
c2 (p1m1 n1 ) c1(p2m2 n2 )
c2 p1m1 c2n1 c1p2m2 c1n2
(c2 p1m1 c1p2m2 ) (c2n1 c1n2 ) PM N
38 และ c1rx
r (c1x )
r (p1m1 n1 )
rp1m1 rn1 PM N .
จะไดวา x y (N , P ) และ rx (N , P ) จากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา (N , P) เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่ง มอดูลของ M ทฤษฎีบท 4.3.3. ถา N เปนกึ่งมอดูลยอยแทของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, และ P เปนไอดีลปฐมภูมิของ R, แลว (N , P ) M หรือ (N , P) เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิของ M พิสูจน สมมติให (N , P ) M จะตองแสดงวา (N , P) เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิของกึ่งมอดูล M โดยบทตั้งที่ 4.3.2 จะไดวา (N , P) เปนกึ่งมอดูลยอยแทของกึ่งมอดูลของ M ตอไปเราจะแสดงสมบัติกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ ของ (N , P), กําหนดให r R และ m M โดยที่ rm (N , P) จะตองแสดงวา m (N , P ) หรือ r M (N , P ), สํา หรับ บางจํ า นวนเต็ ม บวก n เนื่ อ งจาก rm (N, P), ดั ง นั้ นจะมี c โดยที่ c R - P , ซึ่ ง crm PM N เราจะแบงการพิสูจนออกเปน 2 กรณี คือ r P และ r P . กรณีที่ 1. ถา r P , และโดยบทตั้ง 4.3.1 จะไดวา r n M PM PM N (N , P), สําหรับ บางจํานวนเต็มบวก n ดังนั้น r M (N , P ) กรณีที่ 2. ถา r P , แลวจะไดวา cr P ดังนั้น m (N , P ) จากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา (N , P) เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิของ M n
n
บทแทรก 4.3.4 ถา N เปนกึ่งมอดูลยอยแทของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, และ R, แลว (N , P ) M หรือ (N , P) เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของ M พิสูจน สามารถแสดงไดในทํานองเดียวกันกับทฤษฎีบท 4.3.3
P
เปนไอดีลปฐมภูมิของ
39
4.4. สมบัติบางประการของรากปฐมภูมิแบบฉบับ (some basic properties of the classical primary radical) ในหัวขอนี้ไดอธิบายลักษณะเฉาะที่สําคัญและสมบัตบิ างประการของรากปฐมภูมิแบบฉบับของกึง่ มอดูล (classical primary radical of semimodule) ของกึ่งมอดูลยอย N ในกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, โดย เริ่มตนจากการศึกษาบทนิยาม ดังนี้ บทนิยาม 4.4.1 รากปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล (classical primary radical of semimodule) ของกึ่ง มอดูลยอย N ในกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, เขียนแทนดวย c. prad M N คือ อินเตอรเซกชันของทุก กึ่ง มอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับที่มี N บรรจุ ในกรณีที่ไมมีกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับใดเลยที่มี N บรรจุ เราจะ ให c. prad M N M ทฤษฎีบท 4.4.2 กําหนดให
N
และ K เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่ง มอดูล ของ M บนกึ่ง ริง R, แลวจะไดวา c. prad M ( N ) c. prad M ( K ) เมื่อ N K พิสูจน กําหนดให N และ K เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, โดยที่ N K เราจะแสดง วา c. prad M ( N ) c. prad M ( K ) ถาไมมีกึ่ง มอดูล ยอ ยปฐมภูมิแบบฉบับ ที่บ รรจุ K โดยบทนิยามเราจะไดวา w.rad M ( K ) M แต เนื่องจาก w.rad M ( N ) เปนกึ่งมอดูลยอยของ M เราจะไดวา w.rad M ( N ) M w.rad M ( K ) ถามีกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับที่บรรจุ K โดยบทนิยามเราจะไดวา w.rad M ( K ) เปนมอดูลยอยของ M โดยที่ K w.rad M ( K ) แตเนื่องจาก N K จะไดวา N w.rad M ( K ) ดังนั้นจากที่กลาวมาสามารถ สรุปไดวา w.rad M ( N ) w.rad M ( K ) ทฤษฎีบท 4.4.3 กําหนดให
N
และ K เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่ง มอดูล ของ M บนกึ่ง ริง R, แลวจะไดวา c. prad K ( N ) c. prad M ( N ) เมื่อ N K พิสูจน กําหนดให N และ K เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, โดยที่ N K เราจะแสดง วา c. prad K ( N ) c. prad M ( N ) ถาไมมี กึ่ง มอดูล ยอ ยปฐมภูมิแ บบฉบับ ที่บ รรจุ N โดยบทนิยามเราจะไดวา w.rad M ( N ) M แต เนื่องจาก c. prad K ( N ) เปนมอดูลยอยของ K จะไดวา c. prad K ( N ) K M c. prad M ( N )
40 ถามีกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับที่บรรจุ N จะไดวา c. prad M ( N ) เปนกึ่งมอดูลยอยของ M โดยที่ N c. prad M ( N ) ดังนั้นเรากําหนดให W เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของ M ที่บรรจุ N ตอไปนี้เรา จะแบงการพิสูจนออกเปน 2 กรณีกลาวคือ K เปนเซตยอยของ W และ K ไมเปนเซตยอยของ W ดังนี้ กรณีที่ 1 K เปนเซตยอยของ W เนื่องจาก K เปนเซตยอยของ W และ c. prad K ( N ) W ดังนั้น จะไดวาถา W เปนกึ่งมอดูลยอยของ M ที่บรรจุ N แลวจะไดวา c. prad K ( N ) W กรณีที่ 2 K ไมเปนเซตยอยของ W เห็นไดชัดเจนวา K W เปนมอดูลยอ ยแบบออนของ K แต เนื่องจาก N K W จะไดวา c. prad K ( N ) K W W ดังนั้นจะไดวาถา W เปนมอดูลยอยของ M บรรจุ N แลว c. prad M ( N ) W จากทั้ง 2 กรณี สามารถสรุปไดวา c. prad K ( N ) c. prad M ( N ) บทแทรก 4.4.4 กําหนดให
เปนกึ่ง มอดูลยอยของกึ่ง มอดูลของ M บนกึ่งริง R, แลวจะไดวา c. prad K ( N ) c. prad M ( N ) c. prad M ( K ) เมื่อ N K พิสูจน ให N และ K เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่ง มอดูล ของ M บนกึ่ง ริง R, โดยที่ N K เราจะแสดงวา c. prad K ( N ) c. prad M ( N ) c. prad M ( K ) โดยทฤษฎี บ ท 4.4.3 และทฤษฎี บ ท 4.4.4 จะได ว า c. prad M ( N ) c. prad M ( K ) และ c. prad K ( N ) c. prad M ( N ) ดั ง นั้ น จากที่ ก ล า วมาสามารถสรุ ป ได ว า N
และ
K
c. prad K ( N ) c. prad M ( N ) c. prad M ( K )
ทฤษฎีบท 4.4.5 กําหนดให
N
และ
K
เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่ง มอดูลของ
M
บนกึ่งริง
R,
แลวจะไดวา
c. prad M (c. prad M ( N )) c. prad M ( N )
พิ สู จ น ให
เป น กึ่ ง มอดู ล ย อ ยของกึ่ ง มอดู ล ของ M บนกึ่ ง ริ ง R, เราจะต อ งแสดงว า c. prad M (c. prad M ( N )) c. prad M ( N ) โดยบทนิยามของ c. prad M (c. prad M ( N )) เห็นไดชัดเจนวา N
และ
K
c. prad M (c. prad M ( N )) c. prad M ( N )
ตอไปเราจะแสดงวา c. prad M (c. prad M ( N )) c. prad M ( N ) ถาไมมี กึ่ง มอดูลยอ ยปฐมภูมิแบบฉบับ ที่บ รรจุ N โดยบทนิยาม 4.4.1 จะไดวา c. prad M ( N ) M ดังนั้น c. prad M (c. prad M ( N )) c. prad M ( N ) ถามีกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับที่บรรจุ N โดยบทนิยาม 4.4.1 จะไดวา c. prad M (c. prad M ( N )) คือมอดูลยอยที่เล็กที่สุดที่บรรจุ c. prad M ( N ) แตเนื่องจาก c. prad M ( N ) c. prad M ( N ) จะไดวา c. prad M (c. prad M ( N )) c. prad M ( N )
41 ดังนั้นจากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา ทฤษฎีบท 4.4.6 กําหนดให
N
c. prad M (c. prad M ( N )) c. prad M ( N )
และ
K
เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่ง มอดูล ของ
M
บนกึ่ง ริง
R,
แลวจะไดวา
c. prad M ( N K ) c. prad M ( N ) c. prad M ( K )
พิ สู จ น ให
เป น กึ่ ง มอดู ล ย อ ยของกึ่ ง มอดู ล ของ M บนกึ่ ง ริ ง R, เราจะต อ งแสดงว า c. prad M ( N K ) c. prad M ( N ) c. prad M ( K ) เนื่องจาก N K N และ N K K โดยทฤษฎี บท 4.4.2 จะไดวา c. prad M ( N K ) c. prad M ( N ) และ c. prad M ( N K ) c. prad M ( K ) ดังนั้นจาก ที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา w.rad M ( N K ) w.rad M ( N ) w.rad M ( K ) N
และ
K
ทฤษฎีบท 4.4.7 กําหนดให
N
และ
K
เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูลของ
M
บนกึ่งริง
R,
แลวจะไดวา
c. prad M ( N K ) c. prad M ( N ) c. prad M ( K )
พิสูจน ให
N
และ
K
เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูลของ
M
บนกึ่งริง
R,
เริ่มตนจะแสดงวา
c. prad M ( N K ) c. prad M ( N ) c. prad M ( K )
โดยบทนิยาม 4.4.1 เห็นไดชัดเจนวา
N K c. prad M ( N ) c. prad M ( K )
w.rad M ( N K ) w.rad M ( N ) w.rad M ( K )
โดยทฤษฎีบท 4.4.5 เราจะไดวา
ตอไปจะแสดงวา
c. prad M ( N K ) c. prad M ( N ) c. prad M ( K )
เนื่องจาก
N NK
และ
K NK
โดยทฤษฎีบท 4.4.2 เราจะไดวา
c. prad M ( N ) c. prad M ( N K )
และ c. prad M ( K ) c. prad M ( N K )
โดยสมบัติของเซตเราจะไดวา c. prad M ( N K ) c. prad M ( N ) c. prad M ( K ) ดังนั้นจากที่กลาวมาสามารถ สรุปไดวา c. prad M ( N K ) c. prad M ( N ) c. prad M ( K ) ทฤษฎีบท 4.4.8 กําหนดให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, ถา P เปนไอดีลปฐมภูมิ ของ R แลวจะไดวา c. prad M ( N ) {(N , P)∣ P เปนไอดีลปฐมภูมิของ R} พิสูจน ให N และ K เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, และ P เปนไอดีลปฐมภูมิของ R และให B {(N , P)∣ P เปนไอดี ล ปฐมภู มิ ข อง R} ดั ง นั้ น เราต อ งจะแสดงว า c. prad M ( N ) B ให m c. prad M ( N ) จากบทแทรก 4.3.4 เราจะไดวา ( N , P ) M หรือ ( N , P ) เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ แบบ ฉบับของ M เราจะแบงการพิสูจนออกเปน 2 กรณี ดังนี้
42 กรณีที่ 1 ( N , P) M เนื่องจาก ( N , P) M จะไดวา m ( N , P) กรณีที่ 2 ( N , P) M เนื่องจาก ( N , P) M โดยบทแทรก 4.3.4 เราจะไดวา ยอยปฐมภูมิแบบฉบับของ M และจากจากบทตั้ง 4.2.2 จะไดวา
( N , P)
เปนกึ่งมอดูล
N PM N ( N , P ) {x M | cx PM N , c R P}
นั่นคือ
m ( N , P)
สามารถสรุปไดวา
c. prad M ( N ) {(N , P ) ∣ P
เปนไอดีลปฐมภูมิของ
R}
ทฤษฎีบท 4.4.9 กําหนดให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, ถา P เปนไอดีลปฐมภูมิ ของ R แลวจะไดวา prad M ( N ) {(N , P)∣ P เปนไอดีลปฐมภูมิของ R} พิสูจน ให N และ K เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, และ P เปนไอดีลปฐมภูมิของ R และให B {(N , P)∣ P เป น ไอดี ล ปฐมภู มิ ข อง R} ดั ง นั้ น เราต อ งจะแสดงว า prad M ( N ) B ให m prad M ( N ) จากบทแทรก 4.3.3 เราจะไดวา ( N , P ) M หรือ ( N , P ) เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิของ M เราจะแบงการพิสูจนออกเปน 2 กรณี ดังนี้ กรณีที่ 1 ( N , P) M เนื่องจาก ( N , P) M จะไดวา m ( N , P) กรณีที่ 2 ( N , P) M เนื่องจาก ( N , P) M โดยบทแทรก 4.3.3 เราจะไดวา ( N , P) เปนกึ่งมอดูล ยอยปฐมภูมิของ M และจากจากบทตั้ง 4.2.2 จะไดวา N PM N ( N , P ) {x M | cx PM N , c R P}
นั่นคือ m ( N , P) สามารถสรุปไดวา prad M ( N ) {(N , P)∣ P เปนไอดีลปฐมภูมิของ R} ตอไปเราจะ แสดงวา B prad M ( N ) ถาไมมกี ึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิของ M ที่บรรจุ N โดยบทนิยามรากปฐมภูมิเราจะไดวา prad M ( N ) M ดังนั้น B prad M ( N ) ถามีกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิของ M ที่บรรจุ N เราจะให L เปนกึ่ง มอดูลยอยปฐมภูมิของ M ที่บรรจุ N และให m B เนื่องจาก L เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิของ M จากบท ตั้งที่ เราจะไดวา ( L : M ) เปนไอดีลปฐมภูมิของ R เนื่องจาก ( L : M ) เปนไอดีลแทของ R ดังนั้นจะมี c R โดยที่ c R ( L : M ) ซึ่ ง cm ( L : M ) M N เพราะว า cm ( L : M ) M N จะได ว า cm hs k สําหรับบาง h ( L : M ), s M และ k N เนื่องจาก hM L และ N L จะไดวา hs L และ k L ดังนั้น cm L เพราะวา cM ไมเ ปนเซตยอ ยของ L และ L เปนกึ่งมอดูลยอ ยเฉพาะของ M เราจะไดวา m L นั่นคือ m prad M ( N ) ดังนั้นจากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา prad M ( N ) {(N , P ) ∣ P เปนไอ ดีลปฐมภูมิของ R}
43 ทฤษฎี บ ท 4.4.10 กํ า หนดให
เป น กึ่ ง มอดู ล ย อ ยของกึ่ ง มอดู ล ของ
N
M
บนกึ่ ง ริ ง
R,
แล ว จะได ว า
c. prad M ( N ) prad M ( N )
พิสูจน เปนผลมาจากทฤษฎีบท 4.4.8 และ ทฤษฎีบท 4.4.9 n
4.5. กึ่งมอดูยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับใน M (classical primary subsemimodule in i
i 1
n
M ) i
i 1
ในหัวขอนี้ไดขยายแนวความคิดของกึ่งมอดูยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับใน
n
M
เปนใน M i , โดยเริ่มตนจาก i 1
การกําหนดให
n
R Ri ,
สําหรับแตละ
Ri
เปนกึ่งริงสลับที่มีเอกลักษณ และจะไดวาไอดีล
i 1
n
I Ii
ของกึ่ง
i1
ริง R นอกจากนี้สามารถสรุปไดวา I เปนไอดีลปฐมภูมิใน R ก็ตอเมื่อสําหรับแตละไอดีล Ii เปนไอดีลปฐมภูมิ ใน Ri ยิ่งไปกวานั้นสําหรับ ทุก ๆ กึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, สามารถเขียนไดในรูป ผลคูณตรง (direct n
product) ของกึ่งมอดูลนั่นคือ M M i , เมื่อ M i
0,0,0,,0,1,0, 0 M เปนกึ่งมอดูลของบนกึ่งริง
i 1
Ri
โดยที่ r1 ,
เมื่อ
ri Ri
และ
r2 , , rn m1 , m2 , , mn r1m1 , r2 m2 , , rn mn ,
mi M i
บทตั้ง 4.5.1. กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri แลวจะไดวากึ่งมอดูล ยอย N1 M 2 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M ก็ตอเมื่อ N1 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบ ฉบับของกึ่งมอดูล M 1 พิสูจน ให N1 M 2 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M เราจะตองแสดงวา N1 เปนกึ่ง มอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 1 เห็นไดชัดเจนวา N1 เปนกึ่งมอดูลยอยแทของกึ่งมอดูล M 1 ตอไป จะแสดงสมบัติของกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับ ของ N1 ให m M 1 และ a, b R1 โดยที่ abm N1 จะได วา a,1 b,1 m, n abm, n N1 M 2 เนื่องจาก N1 M 2 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M จะไดวา am, n a,1 m, n N1 M 2
44 หรือ b n m, n b,1n m, n N1 M 2 , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n นั่นคือ am N1 หรือ bn m N1 , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n ดังนั้นจะไดวา N1 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 1 สมมติให N1 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 1 จะตองแสดงวา N1 M 2 เปนกึ่ง มอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M เห็นไดชัดเจนวา N1 M 2 เปนกึ่งมอดูลยอยแทของกึ่งมอดูล M ต อ ไปเราจะแสดงสมบั ติ กึ่ ง มอดู ล ย อ ยปฐมภู มิ แ บบฉบั บ ของ N1 M 2 ให m, n M และ a1, a2 , b1 , b2 R โดยที่ a1b1m, a2b2 n a1 , a2 b1 , b2 m, n N1 M 2 เนื่องจาก N1 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 1 และ a1b1m N1 , จะไดวา a1m N1 หรือ b1n n N1 , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n จะไดวา a1 , a2 m, n a1m, a2 n N1 M 2 หรือ n b1 , b2 m, n b1n m, b2n n N1 M 2 สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n ดังนั้นจากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา N1 M 2 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบ ฉบับของกึ่งมอดูล M บทแทรก 4.5.2. กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri แลวจะไดวากึ่ง มอดูลยอย M1 N2 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M ก็ตอเมื่อ N2 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ แบบฉบับของกึ่งมอดูล M 2 พิสูจน สามารถพิสูจนไดในทํานองเดียวกันกับบทตั้ง 4.5.1 บทแทรก 4.5.3. กําหนดให
n
M M i ,
เปนกึ่งมอดูลเมื่อ
Mi
เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง
Ri
แลวจะไดวากึ่งมอดูล
i 1
ยอย M1 M 2 M j1 N j M j1 M n เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล ตอเมื่อ N j เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล N j พิสูจน สามารถพิสูจนไดในทํานองเดียวกันกับบทตั้ง 4.5.1 และบทแทรก 4.5.2
M
ก็
45 ทฤษฎีบท 4.5.4. กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ถา N1 n เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M , แลว N1 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 1 , สําหรับแตละ n M 1 พิสูจน สมมติให N1 n เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M , เราจะแสดงวา N1 เปนกึ่งมอดูล ยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 1 เห็นไดชัดเจนวา N1 เปนกึ่งมอดูลยอยแทของกึ่งมอดูล M 1 ตอปเราจะ แสดงวาสมบัติของกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของ N1 ให m M 1 และ a, b R1 โดยที่ abm N1 จะได วา a,1 b,1 m, n abm, n N1 n. เนื่องจาก N1 M 2 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M , จะไดวา am, n a,1 m, n N1 n . หรือ b n m, n b,1n m, n N1 n. สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n นั่นคือ am N1 หรือ bn m N1 ดังนั้นจากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา N1 เปน กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 1 บทแทรก 4.5.5. กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ถา n N 2 เปน กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M , แลว N2 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 2 , สําหรับแตละ n M 2 พิสูจน สามารถพิสูจนไดในทํานองเดียวกันกับทฤษฎีบท 4.5.4 บทแทรก 4.5.6.
กํ า หนดให
n
M M i ,
เป น กึ่ ง มอดู ล เมื่ อ
Mi
เป น กึ่ ง มอดู ล บนกึ่ ง ริ ง
Ri
ถ า
i 1
m1 m2 N j mn เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M , แลว มอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 2 , สําหรับแตละ mi M i พิสูจน สามารถพิสูจนไดในทํานองเดียวกันกับทฤษฎีบท 4.5.4 และบทแทรก 4.5.5
Nj
เปนกึ่ง
46
4.6. สูตรรากของกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับ (radical formula of classical primary subsemimodule) ในหัวขอนี้เราจะกลาวถึงโครงสรางของสูตรรากของกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับ บทนิยาม สมบัติตาง ๆ ของสูตรรากโดยเริ่มตนจากการศึกษาบทตั้ง ดังนี้ บทตั้ง 4.6.1. กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ที่มีเอกลักษณ ถา W เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M และ P {x M1 : ( x, y) W }, แลว P M1 หรือ P เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 1 พิสูจน สมมติให P M 1 เราตองแสดงวา P เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 1 เห็นได ชัดเจนวา P เปนกึ่งมอดูลยอยแทของกึ่งมอดูล M 1 ตอไปเราตองแสดงสมบัติของกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับ ของ P, ให a, b R1 และ m M1 โดยที่ abm P โดยบทนิ ย ามของ P เราจะได ว า a,1 b,1 (m, y ) (abm, y ) W เนื่องจาก W เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M , จะได วา ( am,1) a,1 ( m, y ) W หรือ n (b n m, y ) b,1 ( m, y ) W , สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n นั่นคือ am P หรือ bn m P ดังนั้นจากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา P เปนกึ่ง มอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 1 บทแทรก 4.6.2. กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ที่มีเอกลักษณ ถา W เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M และ P {x M 2 : (0, x) W }, แลว P M 2 หรือ P เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 2 พิสูจน สามารถพิสูจนไดในทํานองเดียวกันกับบทตั้ง 4.6.1
47 บทแทรก 4.6.3. กําหนดให
n
M M i ,
เปนกึ่งมอดูล เมื่อ
Mi
เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง
Ri
ที่มีเอกลักษณ ถา
i 1
W
เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล
M
และ
P {x M j : (m1 , m2 ,, x, m j 1 , , mn ) W },
แลว P M j หรือ P เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M j พิสูจน สามารถพิสูจนไดในทํานองเดียวกันกับบทตั้ง 4.6.1 และบทแทรก 4.6.2. ทฤษฎีบท 4.6.4. กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ที่มีเอกลักษณ และให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M 1 จะไดวา m c. prad M N ก็ตอเมื่อ m, y c. prad M N y . พิสูจน สมมติให M M1 M 2 , M M1 M 2 , เปนกึ่ ง มอดูล เมื่อ M i เปน กึ่ ง มอดูล บนกึ่ง ริง Ri ที่ มี เอกลักษณ N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M 1 และให m c. prad M N . ถาไมมีกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M ที่บรรจุ N y , โดยบทนิยาม 4. จะไดวา c. prad M N y M ดังนั้น m, y c. prad M N y . ถามีกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M ที่บรรจุ N y , ดังนั้นจะมีกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ แบบฉบับ W ของกึ่งมอดูล M โดยที่ N y W โดยบทตั้ง 4.6 1 และ P {x M1 : ( x, y) W }, จะ ไดวา P M1 หรือ P เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 1 เราจะแบงการพิสูจนออกเปน 2 กรณี ดังนี้ กรณีที่ 1 P M 1 เนื่องจาก m c. prad M N , จะไดวา m P โดยบทนิยามของ P เราจะไดวา m, y W ดังนั้นจะไดวาถา W เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M ที่บรรจุ N y , แลว จะไดวา m, y W กรณีที่ 2 P M 1 นื่องจาก P M1 , จะไดวา P เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 1 ให x N ดังนั้น x, y N y นั่นคือ x P โดยสมบัติของเซตจะไดวา N P พิจารณา c.rad M N c.rad M P 1
1
1
1
1
1
P
นั่นคือ m P ดังนั้นจะไดวาถา W เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M ที่บรรจุ จะไดวา m, y W ดังนั้นจากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา m, y c. prad M N y . 1
N y ,
แลว
48 บทแทรก 4.6.5. กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง และให N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M 2 จะไดวา m c. pradM ( N ) ก็ตอเมื่อ
Ri
ที่มีเอกลักษณ
2
( x, m) c. prad M ({x} N )
พิสูจน สามารถพิสูจนไดในทํานองเดียวกันกับทฤษฎีบท 4.6.4. บทแทรก 4.6.6. กําหนดให
n
M M i ,
เปนกึ่งมอดูลเมื่อ
Mi
เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง
Ri
ที่มีเอกลักษณ และให
i 1
N
เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล
Mj
จะไดวา
m c. prad M j ( N )
ก็ตอเมื่อ
( x1 , , m, x j 1 , , xn ) c. prad M ({ x1} x2 N x j 1 xn ).
พิสูจน สามารถพิสูจนไดในทํานองเดียวกันกับทฤษฎีบท 4.6.4. และ บทแทรก4.6.5. ทฤษฎีบท 4.6.7. กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ และให Ni เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M i , จะไดวา
Mi
เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง
Ri
ที่มีเอกลักษณ
c. prad M1 ( N1 ) c. prad M 2 ( N 2 ) c. prad M ( N1 N 2 )
พิสูจน สมมติให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมือ่ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึง่ ริง เปนกึง่ มอดูลยอยของกึ่งมอดูล M i , เราจะตองแสดงวา
Ri
ที่มีเอกลักษณ และให
Ni
c. prad M1 ( N1 ) .cprad M 2 ( N 2 ) c. prad M ( N1 N 2 )
ให ( x, y) c. prad M ( N1 ) c. prad M (M 2 ) จะไดวา ทฤษฎีบท 4.6.4 และบทแทรก 4.6.5 จะไดวา 1
2
x c. prad M1 ( N1 )
และ
y c. prad M 2 ( N1 )
โดย
( x, 0) c. prad M ( N1 {0}) c. prad M ( N1 N 2 )
และ (0, y ) c. prad M ({0} N 2 ) c. prad M ( N1 N 2 )
นั่ น คื อ
ดั ง นั้ น จ า ก ที่ ก ล า วม า ส า ม า ร ถ ส รุ ป ได ว า
( x, y ) ( x, 0) (0, y ) c. prad M ( N1 N 2 )
c. prad M1 ( N1 ) c. prad M 2 ( N 2 ) c. prad M ( N1 N 2 )
บทแทรก 4.6.8. กําหนดให
n
M M i ,
เปนกึ่งมอดูลเมื่อ
Mi
เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง
Ri
i 1
Ni
เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล
n
Mi ,
n
จะไดวา c. pradM ( Ni ) c. pradM ( Ni ) i
i 1
i 1
ที่มีเอกลักษณ และให
49 พิสูจน สามารถพิสูจนไดในทํานองเดียวกันกับทฤษฎีบท 4.6.7 ทฤษฎีบท 4.6.9. กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ที่มีเอกลักษณ ถา N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M 1 , จะไดวา c. prad M ( N1 ) c. prad M (M 2 ) c. prad M ( N1 M 2 ). พิสูจน สมมติให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ที่มีเอกลักษณ และ N เปน กึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M1 , โดยทฤษฎีบท 4.6.7 c. pradM ( N ) c. prad M ( M 2 ) c. prad M ( N M 2 ) ตอไปเราตองแสดงวา c. pradM ( N1 M 2 ) c. prad M ( N1 ) c. prad M ( M 2 ) ถาไมมีกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M ที่บรรจุ N , แลวจะไดวา c. prad M N M 1 นั่นคือ c. pradM ( N1 M 2 ) c. prad M ( N1 ) c. prad M ( M 2 ) ถามีกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M ที่บรรจุ N , ดังนั้นจะมีกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบ ฉบับ W ของกึ่งมอดูล M โดยที่ N W โดยทฤษฎีบท 4.6.9 เราจะไดวา W M 2 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ แบบฉบับของกึ่งมอดูล M , ที่บรรจุ N M 2 ให P เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M ใด ๆ ที่ บรรจุ N M 2 พิจารณา N M2 c. prad M N M 2 c. prad M N c. prad M M 2 นั่ น คื อ c. prad M ( N1 M 2 ) c. prad M ( N1 ) c. prad M ( M 2 ) ดั ง นั้ น จากที่ ก ล า วมาสามารถสรุ ป ได ว า 1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
1
2
2
c. prad M ( N1 M 2 ) c. prad M1 ( N1 ) c. prad M 2 ( M 2 )
บทแทรก 4.6.10. กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ที่มีเอกลักษณ ถา N เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล M 2 , จะไดวา c. prad M M 2 N c. prad M M 2 c. prad M N พิสูจน สามารถพิสูจนไดในทํานองเดียวกันกับทฤษฎีบท 4.6.9 1
บทแทรก 4.6.11. กําหนดให
n
M M i ,
เปนกึ่งมอดูลเมื่อ
Mi
เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง
i 1
Ni
เปนกึ่งมอดูลยอยของกึ่งมอดูล
Mi ,
n
c. prad i 1
จะไดวา n
Mi
( M i N j ) c. prad M ( M i ) c. prad M j ( N j ) i 1
พิสูจน สามารถพิสูจนไดในทํานองเดียวกันกับทฤษฎีบท 4.6.9 และ บทแทรก 4.6.10
2
Ri
ที่มีเอกลักษณ ถา
50
บทนิยาม 4.6.12. กึ่งมอดูลยอย N ในกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, สิ่งหุมของ N ใน M (Envelope of N in M ) เขี ย นแทนด ว ย EM N หมายถึ ง เซตที่ ก อ กํ า เนิ ด (Generated) ด ว ยเซต EM N {rm : r R
และ m M โดยที่
rkm N
สําหรับบาง
k }
ทฤษฎี บท 4.6.13. กํ า หนดให M M1 M 2 , เปน กึ่ง มอดูล เมื่ อ M i เป น กึ่ ง มอดู ล บนกึ่ ง ริ ง N N1 N 2 เปนกึ่งมอดูลยอยของ M แลว EM N EM N1 EM N 2 . 1
พิสูจน ให
k
x ri , si mi , ni EM N ,
Ri
และให
2
เมื่อ ri , si k mi , ni N , สําหรับบาง i
ki
ก็ตอเมื่อ
i 1 k
u ri mi EM1 N1 ,
โดยที่
ri ki mi N1
with
siki ni N2 .
i 1
และ k
v si ni EM 2 N 2 , i 1
จะไดวา
x u , v EM N
สามารถสรุปไดวา
EM N
ก็ตอเมือ่
u E M1 N1
และ
v EM 2 N 2
ดังนั้นจากที่กลาวมา
EM1 N1 EM 2 N 2 .
บทแทรก 4.6.14. กํ า หนดให
n
M Mi ,
เป น กึ่ ง มอดู ล เมื่ อ
Mi
เป น กึ่ ง มอดู ล บนกึ่ ง ริ ง
Ri
และให
i 1 n
N Ni
เปนกึ่งมอดูลยอยของ
M
แลว
n
EM N
i 1
EM i N i .
i 1
พิสูจน สามารถพิสูจนไดในทํานองเดียวกันกับทฤษฎีบท 4.6.13 บทนิยาม 4.6.15. กึ่งมอดูลยอย N ในกึ่งมอดูลของ M บนกึ่งริง R, จะเรียก N วาสูตรรากของกึ่งมอดูลยอย ปฐมภูมิแบบฉบับใน M (Classical Primary Radical formula in M ) ถา EM N c. prad M N .
51 ทฤษฎีบท 4.6.16. กําหนดให M M1 M 2 , เปนกึ่งมอดูลเมื่อ M i เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง Ri ที่มีเอกลักษณ ถา N1 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M1 , แลวจะไดวา N1 เปนสูตรรากของกึ่งมอดูลยอยปฐม ภูมิแบบฉบับในกึ่งมอดูล M 1 ก็ตอเมื่อ N1 M 2 เปนสูตรรากของกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับในกึ่งมอดูล M พิสูจน สมมติให N1 เปนสูตรรากของกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับในกึ่งมอดูล M 1 เราตองแสดงวา N1 M 2 เปนสูตรรากของกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับในกึ่งมอดูล M เนื่องจาก N1 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ แบบฉบับของกึ่งมอดูล M 1 เราจะไดวา c. prad M1 ( N1 ) c. prad M 2 ( M 2 )
c. prad M ( N1 M 2 )
ดังนั้น
EM1 ( N1 ) M 2
EM ( N1 M 2 )
เปนสูตรรากของกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับในกึ่งมอดูล M สมมติให N1 เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M 1 และ N1 M 2 เปนสูตรรากของ กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับในกึ่งมอดูล M เราตองการแสดงวา N1 เปนสูตรรากของกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ แบบฉบับในกึ่งมอดูล M 1 เนื่องจาก N1 M 2 เปนสูตรรากของกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับในกึ่งมอดูล M จะไดวา N1 M 2
EM1 ( N1 ) M 2
EM ( N1 M 2 )
c. prad M1 ( N1 ) c. prad M 2 ( M 2 )
นั่นคือ
ดังนั้นจากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา
c. prad M1 ( N1 ) EM1 ( N1 )
ปฐมภูมิแบบฉบับในกึ่งมอดูล
M1
บทแทรก 4.6.17. กําหนดให
M M i ,
n
เปนกึ่งมอดูลเมื่อ
Mi
N1
เปนสูตรรากของกึ่งมอดูลยอย
เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง
Ri
ที่มีเอกลักษณ ถา
i 1
เปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิแบบฉบับของกึ่งมอดูล M j , แลวจะไดวา N j เปนสูตรรากของกึ่งมอดูลยอยปฐม ภูมิแบบฉบับในกึ่งมอดูล M j ก็ตอเมื่อ M1 M 2 M j1 N j M j1 M n เปนสูตรรากของกึ่งมอดูล ยอยปฐมภูมิแบบฉบับในกึ่งมอดูล M พิสูจน สามารถพิสูจนไดในทํานองเดียวกันกับทฤษฎีบท 4.6.12 Nj
