บทที่ 2 ทบทวนเอกสารและงานวิจัยที่เกี่ยวของ ในบทนี้จะเปนการแนะนําความรูทั่ว ๆ ไปที่เกี่ยวกับการทํางานวิจัย ซึ่งกอนที่เราจะทํางานวิจัยจําเปนที่ จะเขาใจโครงสราง ทฤษฎีบทของกึ่งมอดูลเราจําเปนจะตองรูถึงลักษณะโครงสรางตางๆ โดยทั่วไปของมอดูลไมวา จะเปนทฤษฎีและบทนิยามตาง ๆ ดังนี้ - สมบัติพื้นฐานของกรุป (basic properties of group) - สมบัติพื้นฐานของริง (basic properties of ring) - สมบัติพื้นฐานของสมสัณฐาน (basic properties of isomorphism) - สมบัติพื้นฐานของมอดูล (basic properties of module) - สมบัติพื้นฐานของราก (basic properties of radical) - สมบัติพื้นฐานของไอดีลและมอดูลยอยเฉพาะ (basic properties of prime Ideal and prime submodule) - สมบัติพื้นฐานของกึ่งมอดูล (basic properties of semimodule)
2.1. สมบัติพื้นฐานของกรุป (basic properties of group) ในหัวขอนี้เราจะกลาวถึงโครงสรางพื้นฐานทางพีชคณิตของกรุป บทนิยาม สมบัติ และตัวอยางตาง ๆ ของ ของกรุป โดยเริม่ ตนจากการศึกษาบทนิยามของของกรุป ดังนี้ บทนิยาม 2.1.1. กําหนดให S เปนเซตที่ไมใชเซตวาง และ " " เปนฟงกชันจาก จะเรียก วาการดําเนินการทวิภาค (binary operation) บน S
SS
ไปยัง
S (: S S S )
จากบทนิ ย าม 2.1.1 จะได ว า การดํ า เนิ น การทวิ ภ าค บน S เป น กฎเกณฑ บ างอย า ง ซึ่ ง ถ า ( x, y ) S S แลวภาพ (image) ของ ( x, y ) ภายใตกฎเกณฑนี้จะตองเปนสมาชิกตัวหนึ่งและตัวเดียวเทานั้น ของ S ( ( x, y ) S ) ขอตกลง กําหนดให เปนการดําเนินการทวิภาคบน ดวย x y นั่นคือ ( x, y ) x y
S
และถา
( x, y ) S S
ตอไปจะเขียนภาพของ
( x, y )
6 ตัวอยาง 2.1.2. 1. กําหนดให เปนการดําเนินการทวิภาคบน โดยที่ x y x ดังนั้นจะไดวา 2 3 2 2. กําหนดให เปนการดําเนินการทวิภาคบน โดยที่ xy x y 2 ซึ่ง นิยามตามขอ 1 ดังนั้นจะไดวา 23
2 3 2 2 2 4
บทนิยาม 2.1.3. ระบบทางพีชคณิต (algebraic systems) ( S , ) คือระบบที่ประกอบดวย ดําเนินการทวิภาค บน S และจะเรียก S วามีสมบัติปด (closed) ภายใตการดําเนินการ
S
และการ
บทนิ ย าม 2.1.4. กํ า หนดให เป น การดํ า เนิ น การทวิ ภ าคบน S จะกล า วว า S มี ส มบั ติ เ ปลี่ ย นกลุ ม (associative) ภายใตการดําเนินการ ถา ( x y ) z x ( y z ), สําหรับทุก ๆ x, y , z S บทนิยาม 2.1.5. ระบบทางพีชคณิต บน S
( S , )
ขอสังเกต ( S , ) จะเปนกรุปพอยตถา เราจะไดวา (, ) เปนกรุปพอยต บทนิยาม 2.1.6. ระบบทางพีชคณิต การดําเนินการ ขอสังเกต
( S , )
จะเปนกึ่งกรุปถา
S
เปนการดําเนินการทวิภาค
วามีสมบัติปดภายใตการดําเนินการ และจากตัวอยาง 2.1.2 ขอ 2
( S , )
S
จะเรียกวากรุปพอยต (groupoid) ถา
จะเรียกวากึ่งกรุป (semigroup) ถา
S
มีสมบัติเปลี่ยนกลุมภายใต
วามีสมบัติปดและเปลี่ยนกลุม ภายใตการดําเนินการ
บทนิยาม 2.1.7. กําหนดให ( M , ) เปนกึ่งกรุปภายใตการดําเนินการ จะเรียกระบบทางพีชคณิต ( M , ) วา โมนอยด (monoid) ถา G มีสมบัติเอกลักษณ (identity) ภายใตการดําเนินการ กลาวคือมี e G ที่ทําให x e e x x สําหรับแตละสมาชิก x ใน G และจะเรียกสมาชิก e ใน G วาเอกลักษณ บทนิยาม 2.1.8. กําหนดให (G , ) เปนโมนอยดภายใตการดําเนินการ จะเรียกระบบทางพีชคณิต (G , ) วา กรุป (group) ถาสําหรับแตละสมาชิก x G จะมี y G ที่ทําให x y y x e เมื่อ e เปนเอกลักษณและ จะเรียก y วาตัวผกผัน (inverse) ของ x และเขียน y แทนดวย x1
7 ตัวอยาง 2.1.9.- ( , ) ไมเปนกรุปเพราะไมมีเอกลักษณสําหรับการดําเนินการ ใน - (, ) ไมเปนกรุปเพราะไมมีตัวผกผันสําหรับการดําเนินการ ใน แตมี 0 เปนเอกลักษณ สําหรับการดําเนินการ ใน - (, ) เปนกรุป - (, ) ไมเปนกรุปเพราะไมมีตัวผกผันสําหรับการดําเนินการ ใน เชน 5 ไมมีตัวผกผัน บทนิยาม 2.1.10. ถา (G , ) เปนกรุปและ * มีสมบัติสลับที่ (commutative) กลาวคือ x y y x สําหรับ ทุก ๆ สมาชิก x และ y ในเซต G แลวเรียก G วากรุปสลับที่ (abelian group or commutative group) ทฤษฎีบท 2.1.11. กําหนดให (G , ) เปนกรุปแลวจะได 1. ถา x z y z แลว x y สําหรับทุก ๆ x, y, z G 2. ถา z x z y แลว x y สําหรับทุก ๆ x, y, z G 3. ถา a x b หรือ y a b สําหรับทุก ๆ a, b G แลวจะมีคําตอบใน G ไดคําตอบเดียวเทานั้น 4. ถา x x x สําหรับทุก ๆ x G แลว x e 1 5. x 1 x สําหรับทุก ๆ x G 6. x y 1 y 1 x 1 สําหรับทุก ๆ
x, y G
บทนิ ย าม 2.1.12. กํา หนดให G เป นกรุป และ c G เรี ยก c x y x 1 y 1 สําหรับบางสมาชิก x และ y ในกรุป G
c
วา ตัวทํ า สลับที่ (commutator) ถ า
บทนิ ย าม 2.1.13. กํ า หนดให S เป น เซตย อ ยของกรุ ป G ที่ ไ ม ใ ช เ ซตว า งจะกว า วว า (subgroup) ของกรุป G ถา S เปนกรุปภายใตการดําเนินการเดียวกันกับ G
S
เป น กรุ ป ย อ ย
จากบทนิยาม 2.1.13 เห็นไดชัดเจนวา {e} และ G เปนกรุปยอยของ G เสมอ และจะเรียก {e} และ G วากรุปยอยชัด (trivial Subgroup) ของ G ถา S เปนกรุปยอยของ G จะเขียนแทนดวย S G และจะเรียกกรุปยอย S ที่ S G วากรุปยอย แท (proper subgroup) ของ G และเขียนแทนดวย S G
8
2.2. สมบัติพื้นฐานของริง (basic properties of ring) ในหัวขอนี้เราจะกลาวถึงโครงสรางพื้นฐานของริง บทนิยาม สมบัติ และตัวอยางตาง ๆ ของริง โดยเริ่มตน จากการศึกษาบทนิยามของริง ดังนี้ บทนิยาม 2.2.1. กําหนดให R และมีการดําเนินการทวิภาคคือการบวก " " และการคูณ " " บน R จะ เรียก R วากึ่งริง (semiring) ถา R มีสมบัติดังตอไปนี้ 1. ( R, ) และ ( R, ) เปนกึ่งกรุป 2. R มีสมบัติแจกแจง (distributive) กลาวคือมีสมบัติแจกแจงทางซาย (left distributive) หมายถึง x ( y z ) x y x z และแจกแจงทางขวา (right distributive) หมายถึง ( x y ) z x z y z สําหรับ ทุก ๆ x, y, z R บทนิยาม 2.2.2. กําหนดให R และมีการดําเนินการทวิภาคคือการบวก " " และการคูณ " " บน เรียก R วาริง (ring) ถา R มีสมบัติดังตอไปนี้ 1. ( R, ) เปนกรุปสลับที่และให e แทนสมาชิกเอกลักษณของการบวก 2. ( R, ) เปนกึ่งกรุป 3. R มีสมบัติแจกแจง ขอตกลง ตอไปนี้ถาไมเกิดความสับสนจะเขียน
xy
แทน
x y
สําหรับทุก ๆ
R
จะ
x, y R
บทนิยาม 2.2.3. กําหนดให R เปนริงจะเรียก R วาริงสลับที่ (commutative ring) ถา ภายใตการคูณกลาวคือ xy yx สําหรับทุก ๆ x, y R
R
มีสมบัติสลับที่
บทนิยาม 2.2.4. กําหนดให R เปนริงจะเรียก R วาริงมีเอกลักษณ (ring with identity) ถา R มีเอกลักษณการ คูณ (แทนสมาชิกเอกลักษณการคูณดวย 1) กลาวคือมี 1 R ที่ทําให 1x x1 x สําหรับทุก ๆ x R บทนิยาม 2.2.5. กําหนดให R เปนริงจะเรียก การดําเนินการเดียวกันกับ R
SR
วาริงยอย (subring) ของ
R
ถา
S
เปนริงภายใต
9 ตัวอยาง 2.2.6. จากบทนิยาม 2.2.4 เห็นไดชัดเจนวา (, , ), (, , ), (, , ) และ (, , ) เปนริงสลับที่มี เอกลัษณคือ 1 นอกจากนี้แลว (, , ), (, , ) และ (, , ) เปนริงยอยของ (, , ) ทฤษฎีบท 2.2.7. กําหนดให ( R, , ) เปนริงแลวจะได 1. ex e xe สําหรับทุก ๆ x R 2. ( x) y xy x( y ) สําหรับทุก ๆ x, y R 3. ( x)( y ) xy สําหรับทุก ๆ x R 4. (1)x x สําหรับทุก ๆ x R บทนิย าม 2.2.8. กําหนดให ( R, , ) เปนริงจะเรียก R วาริงการหาร (division ring) ถา R เปนริงที่มี เอกลักษณของการคูณและสําหรับแตละสมาชิก x ใน R ซึ่ง x 0 จะมี x 1 R ที่ทําให xx 1 x 1x 1 บทนิยาม 2.2.9. กําหนดให ( R, , ) เปนริงและ x R โดยที่ x 0 จะเรียก divisor) ถามี y R และ y 0 ที่ทําให xy 0 หรือ yx 0
x
วาเปนตัวหารของศูนย (zero-
บทนิยาม 2.2.10. กําหนดให ( R, , ) เปนเปนริงสลับที่มี 1 เปนเอกลักษณ โดยที่ 1 0 จะเรียก อินทิกรัลโดเมน (integral domain) ถาไมมีตัวหารของศูนย ตัวอยาง 2.2.11. - เซตของจํานวนเต็ม (, , ) เปนริงที่มีเอกลักษณ - สําหรับทุกริง (, , ) เปนอินทิกรัลโดเมน - กําหนดให เปนเซตของจํานวนเต็มและให 6 {0,1, 2,3, 4,5} จะไดวา สลับที่แตไมเปนอินทิกรัลโดเมน บทนิย าม 2.2.12. กําหนดให ( R, , ) เปนริงและ c xy yx สําหรับบางสมาชิก x และ y ในริง R
cR
จะเรียก
c
( R, , )
( 6 , , )
วา
เปนริง
วาตัวทําสลับที่ (commutator) ถา
บทนิยาม 2.2.13. กําหนดให ( R, , ) เปนริงและ I เปนริงยอยของ R จะเรียก I วาเปนไอดีลทางซาย (left ideal) ของ R ถา RI I จะเรียก I วาเปนไอดีลทางทวา (right ideal) ของ R ถา IR I และจะเรียก I วาไอดีล (ideal) ถา I เปนไอดีลทางซายและทางทวา
10 ตัวอยาง 2.2.14. เห็นไดชัดวา
n
เปนไอดีลของ
สําหรับทุกจํานวนนับ
n
ทฤษฎีบท 2.2.15. กําหนดให ( R, , ) เปนริงสลับที่และให a R จะไดวา R a xa : x R เปนไอดีล ของ R และเรียก R a วาไอดีลมุขสําคัญ (principal ideal) บทนิยาม 2.2.16. กําหนดให M เปนไอดีลของริง R โดยที่ M R จะเรียก M วาเปนไอดีลใหญสุดเฉพาะ กลุม (maximal ideal) ของ R ถ าสําหรับ ทุก ๆ ไอดีล I ของ R โดยที่ M I R แลว I R หรื อ M I
ทฤษฎีบท 2.2.17. ให I เปนไอดีลของริง R และให R / I a I | a R , สําหรับทุกโคเซต (coset) ของ I สําหรับทุก a I R / I และ b I R / I โดยที่ ( a I ) ( b I ) ( a b) I
และ ( a I )(b I ) ( ab) I
จะไดวา
R/ I
เปนริงเรียกวาริงผลหาร (quotient ring) ของ
บทนิยาม 2.2.18. กําหนดให
F
เปนริงการหารจะเรียก
F
R
ดวย
I
วาฟลด (field) ถา
F
เปนริงการหารสลับที่
2.3. สมบัติพื้นฐานของสมสัณฐาน (basic properties of isomorphism) ในหัวขอนี้เราจะกลาวถึงโครงสรางพื้นฐานของสมสัณฐาน บทนิยาม สมบัติ และตัวอยางตาง ๆ ของของ สมสัณฐาน โดยเริ่มตนจากการศึกษาบทนิยามของของกรุปยอยปกติ ดังนี้ บทนิย าม 2.3.1. กํา หนดให (G , ) เปน กรุ ป และ N เป น กรุ ป ย อ ยของ G จะเรีย ก N ว ากรุป ยอ ยปกติ (normal subgroup) ของ G ถา gN Ng สําหรับทุก ๆ g G และจะเขียน N G แทน N เปนกรุป ยอยปกติของ G บทนิยาม 2.3.2. กําหนดให (G , ) และ ( H , ) เปนกรุปและ : G H จะเรียก วาเปนฟงกชันสาทิส สัณฐาน (homomorphism) จาก G ไปยัง H ถา ( x y ) ( x ) ( y ) สําหรับทุก ๆ x, y G
11 บทนิยาม 2.3.3. กําหนดให (G , ) และ ( H , ) เปนกรุปและ : G H เปนฟงกชันสาทิสสัณฐานแลว 1. ภาพของ (image of ) จะเขียนแทนดวย Im( ) หมายถึง { ( g ) : g G} 2. เคอรเนลของ (kernel of ) จะเขียนแทนดวย Ker ( ) หมายถึง {g G : ( g ) e} ทฤษฎีบท 2.3.4. กําหนดให (G , ) และ ( H , ) เปนกรุปและ : G H เปนฟงกชันสาทิสสัณฐานจะได 1. (e) e 2. ( x1 ) ( x) 1 สําหรับทุก ๆ x R 3. Im( ) H 4. Ker ( ) G บทนิยาม 2.3.5. กําหนดให
(G , )
และ
( H , )
เปนกรุปและ
เรียก วาเปนฟงกชันสมสัณฐาน (isomorphism) จาก (isomorphic) กันเขียนแทนดวย G H ทฤษฎีบท 2.3.6. กําหนดให
(G , ), ( H , )
G
11
:G H onto
ไปยัง
H
และเรียก
G
กับ
H
วาสมสัณฐาน
เปนกรุปและ : G H เปนฟงกชันสาทิสสัณฐานจะได
G / Ker ( ) Im( )
ทฤษฎีบท 2.3.7. กําหนดให (G , ) และ 1. KN NK G 2. N NK 3. N K K 4. K / ( N K ) NK / N
และเปนฟงกชันสาทิสสัณฐานจะ
K G
ทฤษฎีบท 2.3.8. กําหนดให (G , ), K G , 1. K / N G / N 2. G / K G / N / K / N
และให
N G
N G
และ
จะไดวา
NK
จะไดวา
12 บทนิย าม 2.3.9. กําหนดให R และ S เปนริง และ : R S จะเรียก (homomorphism) จาก R ไปยัง S ถามีสมบัติดังนี้ 1. ( x y ) ( x) ( y ) สําหรับทุก ๆ x, y R 2. ( xy ) ( x ) ( y ) สําหรับทุก ๆ x, y R
วาเปนฟงกชันสาทิส สัณฐาน
บทนิยาม 2.3.10. กําหนดให R และ S เปนริงและ : R S เปนฟงกชันสาทิสสัณฐานแลว 1. ภาพของ (image of ) จะเขียนแทนดวย Im( ) หมายถึง { (r ) : r R} 2. เคอรเนลของ (kernel of ) จะเขียนแทนดวย Ker ( ) หมายถึง {r G : (r ) e} ทฤษฎีบท 2.3.11. กําหนดให R และ S เปนริงและ : R S เปนฟงกชันสาทิสสัณฐานจะได 1. (0 R ) 0 s 2. (1) 1 3. ( x ) ( x ) สําหรับทุก ๆ x R 4. Im( ) เปนริงยอยของ S 5. Ker ( ) เปนริงยอยของ R บทนิยาม 2.3.12. กําหนดให
R
และ
11
S
เปนริงและ : R onto S และเปนฟงกชันสาทิสสัณฐานจะเรียก
เปนฟงกชันสมสัณฐาน (isomorphism) จาก เขียนแทนดวย R S ทฤษฎีบท 2.3.13. กําหนดให
R
และ
S
R
ไปยัง
S
และเรียก
R
กับ
S
G / Ker ( ) Im( )
ทฤษฎีบท 2.3.15. กําหนดให (R / I ) / ( J / I ) R / J
R
เปนริงและ
I, J
R
และ
เปนไอดีลของ
R
S
เปนริงยอยของ
โดยที่
IJ
วา
วาสมสัณฐาน (isomorphic)
เปนริงและ : R S เปนฟงกชันสาทิสสัณฐานจะได
ทฤษฎีบท 2.3.14. กําหนดให R เปนริง I เปนไอดีลของ 1. I S เปนริงยอยของ R ที่บรรจุ I 2. I S เปนไอดีลของ S 3. ( I S ) / I S / I S
R
จะไดวา
จะไดวา
13
2.4. สมบัติพื้นฐานของมอดูล (basic properties of module) ในหัวขอนี้เราจะกลาวถึงโครงสรางพื้นฐานของมอดูล บทนิยาม สมบัติ และตัวอยางตาง ๆ ของมอดูล โดย เริ่มตนจากการศึกษาบทนิยามของของมอดูล ดังนี้ บทนิยาม 2.4.1. มอดูล (module) คือกรุปสลับที่ M และริง R ที่สามารถสรางฟงกชันจาก R M ไปยัง M ( r , m rm ) และมีสมบัติดังนี้ 1. (r s)m rm sm สําหรับทุก ๆ r , s R และ m M 2. (rs)m r ( sm) สําหรับทุก ๆ r , s R และ m M 3. r (m n) rm rn สําหรับทุก ๆ r R และ m, n M 4. ถาริง R เปนริงมีเอกลักษณ 1 แลวจะมีสมบัติ 1m m สําหรับทุก m M และจะเรียก M วา มอดูลบน R หรือ M เปน R -มอดูล ( R -module) ตัวอยาง 2.4.2. กําหนดให
R
เปนริงจะไดวา
R
เปนมอดูลบน
R
และสําหรับทุก ๆ ฟลด
F
F
ตัวอยาง 2.4.3. สําหรับทุก ๆ กรุปสลับจะเปนมอดูลบน
โดยที่
( n, m) nm
m m m; n 0 m ( n terms) nm 0 ;n 0 n ( m) ;n