697 chapter2

บทที่ 2 ทบทวนเอกสารและงานวิจัยที่เกี่ยวของ ในบทนี้จะเปนการแนะนําความรูทั่ว ๆ ไปที่เกี่ยวกับการทํางานวิจัย ซึ่งกอนที่...

0 downloads 85 Views 321KB Size
บทที่ 2 ทบทวนเอกสารและงานวิจัยที่เกี่ยวของ ในบทนี้จะเปนการแนะนําความรูทั่ว ๆ ไปที่เกี่ยวกับการทํางานวิจัย ซึ่งกอนที่เราจะทํางานวิจัยจําเปนที่ จะเขาใจโครงสราง ทฤษฎีบทของกึ่งมอดูลเราจําเปนจะตองรูถึงลักษณะโครงสรางตางๆ โดยทั่วไปของมอดูลไมวา จะเปนทฤษฎีและบทนิยามตาง ๆ ดังนี้ - สมบัติพื้นฐานของกรุป (basic properties of group) - สมบัติพื้นฐานของริง (basic properties of ring) - สมบัติพื้นฐานของสมสัณฐาน (basic properties of isomorphism) - สมบัติพื้นฐานของมอดูล (basic properties of module) - สมบัติพื้นฐานของราก (basic properties of radical) - สมบัติพื้นฐานของไอดีลและมอดูลยอยเฉพาะ (basic properties of prime Ideal and prime submodule) - สมบัติพื้นฐานของกึ่งมอดูล (basic properties of semimodule)

2.1. สมบัติพื้นฐานของกรุป (basic properties of group) ในหัวขอนี้เราจะกลาวถึงโครงสรางพื้นฐานทางพีชคณิตของกรุป บทนิยาม สมบัติ และตัวอยางตาง ๆ ของ ของกรุป โดยเริม่ ตนจากการศึกษาบทนิยามของของกรุป ดังนี้ บทนิยาม 2.1.1. กําหนดให S เปนเซตที่ไมใชเซตวาง และ "  " เปนฟงกชันจาก จะเรียก  วาการดําเนินการทวิภาค (binary operation) บน S

SS

ไปยัง

S (: S  S  S )

จากบทนิ ย าม 2.1.1 จะได ว า การดํ า เนิ น การทวิ ภ าค  บน S เป น กฎเกณฑ บ างอย า ง ซึ่ ง ถ า ( x, y )  S  S แลวภาพ (image) ของ ( x, y ) ภายใตกฎเกณฑนี้จะตองเปนสมาชิกตัวหนึ่งและตัวเดียวเทานั้น ของ S ( ( x, y )  S ) ขอตกลง กําหนดให  เปนการดําเนินการทวิภาคบน ดวย x  y นั่นคือ ( x, y )  x  y

S

และถา

( x, y )  S  S

ตอไปจะเขียนภาพของ

( x, y )

6 ตัวอยาง 2.1.2. 1. กําหนดให  เปนการดําเนินการทวิภาคบน  โดยที่ x  y  x ดังนั้นจะไดวา 2  3  2 2. กําหนดให  เปนการดําเนินการทวิภาคบน  โดยที่ xy  x  y  2 ซึ่ง  นิยามตามขอ 1 ดังนั้นจะไดวา 23

 2 3  2  2 2  4

บทนิยาม 2.1.3. ระบบทางพีชคณิต (algebraic systems) ( S , ) คือระบบที่ประกอบดวย ดําเนินการทวิภาค  บน S และจะเรียก S วามีสมบัติปด (closed) ภายใตการดําเนินการ 

S 

และการ

บทนิ ย าม 2.1.4. กํ า หนดให  เป น การดํ า เนิ น การทวิ ภ าคบน S จะกล า วว า S มี ส มบั ติ เ ปลี่ ย นกลุ ม (associative) ภายใตการดําเนินการ  ถา ( x  y )  z  x  ( y  z ), สําหรับทุก ๆ x, y , z  S บทนิยาม 2.1.5. ระบบทางพีชคณิต บน S

( S , )

ขอสังเกต ( S , ) จะเปนกรุปพอยตถา เราจะไดวา (, ) เปนกรุปพอยต บทนิยาม 2.1.6. ระบบทางพีชคณิต การดําเนินการ  ขอสังเกต

( S , )

จะเปนกึ่งกรุปถา

S



เปนการดําเนินการทวิภาค

วามีสมบัติปดภายใตการดําเนินการ  และจากตัวอยาง 2.1.2 ขอ 2

( S , )

S

จะเรียกวากรุปพอยต (groupoid) ถา

จะเรียกวากึ่งกรุป (semigroup) ถา

S

มีสมบัติเปลี่ยนกลุมภายใต

วามีสมบัติปดและเปลี่ยนกลุม ภายใตการดําเนินการ 

บทนิยาม 2.1.7. กําหนดให ( M , ) เปนกึ่งกรุปภายใตการดําเนินการ  จะเรียกระบบทางพีชคณิต ( M , ) วา โมนอยด (monoid) ถา G มีสมบัติเอกลักษณ (identity) ภายใตการดําเนินการ  กลาวคือมี e  G ที่ทําให x  e  e  x  x สําหรับแตละสมาชิก x ใน G และจะเรียกสมาชิก e ใน G วาเอกลักษณ บทนิยาม 2.1.8. กําหนดให (G , ) เปนโมนอยดภายใตการดําเนินการ  จะเรียกระบบทางพีชคณิต (G , ) วา กรุป (group) ถาสําหรับแตละสมาชิก x  G จะมี y  G ที่ทําให x  y  y  x  e เมื่อ e เปนเอกลักษณและ จะเรียก y วาตัวผกผัน (inverse) ของ x และเขียน y แทนดวย x1

7 ตัวอยาง 2.1.9.- ( , ) ไมเปนกรุปเพราะไมมีเอกลักษณสําหรับการดําเนินการ  ใน  - (, ) ไมเปนกรุปเพราะไมมีตัวผกผันสําหรับการดําเนินการ  ใน  แตมี 0 เปนเอกลักษณ สําหรับการดําเนินการ  ใน  - (, ) เปนกรุป - (, ) ไมเปนกรุปเพราะไมมีตัวผกผันสําหรับการดําเนินการ  ใน  เชน 5 ไมมีตัวผกผัน บทนิยาม 2.1.10. ถา (G , ) เปนกรุปและ * มีสมบัติสลับที่ (commutative) กลาวคือ x  y  y  x สําหรับ ทุก ๆ สมาชิก x และ y ในเซต G แลวเรียก G วากรุปสลับที่ (abelian group or commutative group) ทฤษฎีบท 2.1.11. กําหนดให (G , ) เปนกรุปแลวจะได 1. ถา x  z  y  z แลว x  y สําหรับทุก ๆ x, y, z  G 2. ถา z  x  z  y แลว x  y สําหรับทุก ๆ x, y, z  G 3. ถา a  x  b หรือ y  a  b สําหรับทุก ๆ a, b  G แลวจะมีคําตอบใน G ไดคําตอบเดียวเทานั้น 4. ถา x  x  x สําหรับทุก ๆ x  G แลว x  e 1 5.  x 1   x สําหรับทุก ๆ x  G 6.  x  y 1  y 1 x 1 สําหรับทุก ๆ

x, y  G

บทนิ ย าม 2.1.12. กํา หนดให G เป นกรุป และ c  G เรี ยก c  x  y  x 1  y 1 สําหรับบางสมาชิก x และ y ในกรุป G

c

วา ตัวทํ า สลับที่ (commutator) ถ า

บทนิ ย าม 2.1.13. กํ า หนดให S เป น เซตย อ ยของกรุ ป G ที่ ไ ม ใ ช เ ซตว า งจะกว า วว า (subgroup) ของกรุป G ถา S เปนกรุปภายใตการดําเนินการเดียวกันกับ G

S

เป น กรุ ป ย อ ย

จากบทนิยาม 2.1.13 เห็นไดชัดเจนวา {e} และ G เปนกรุปยอยของ G เสมอ และจะเรียก {e} และ G วากรุปยอยชัด (trivial Subgroup) ของ G ถา S เปนกรุปยอยของ G จะเขียนแทนดวย S  G และจะเรียกกรุปยอย S ที่ S  G วากรุปยอย แท (proper subgroup) ของ G และเขียนแทนดวย S  G

8

2.2. สมบัติพื้นฐานของริง (basic properties of ring) ในหัวขอนี้เราจะกลาวถึงโครงสรางพื้นฐานของริง บทนิยาม สมบัติ และตัวอยางตาง ๆ ของริง โดยเริ่มตน จากการศึกษาบทนิยามของริง ดังนี้ บทนิยาม 2.2.1. กําหนดให R   และมีการดําเนินการทวิภาคคือการบวก "  " และการคูณ "  " บน R จะ เรียก R วากึ่งริง (semiring) ถา R มีสมบัติดังตอไปนี้ 1. ( R, ) และ ( R, ) เปนกึ่งกรุป 2. R มีสมบัติแจกแจง (distributive) กลาวคือมีสมบัติแจกแจงทางซาย (left distributive) หมายถึง x  ( y  z )  x  y  x  z และแจกแจงทางขวา (right distributive) หมายถึง ( x  y )  z  x  z  y  z สําหรับ ทุก ๆ x, y, z  R บทนิยาม 2.2.2. กําหนดให R   และมีการดําเนินการทวิภาคคือการบวก "  " และการคูณ "  " บน เรียก R วาริง (ring) ถา R มีสมบัติดังตอไปนี้ 1. ( R, ) เปนกรุปสลับที่และให e แทนสมาชิกเอกลักษณของการบวก 2. ( R, ) เปนกึ่งกรุป 3. R มีสมบัติแจกแจง ขอตกลง ตอไปนี้ถาไมเกิดความสับสนจะเขียน

xy

แทน

x y

สําหรับทุก ๆ

R

จะ

x, y  R

บทนิยาม 2.2.3. กําหนดให R เปนริงจะเรียก R วาริงสลับที่ (commutative ring) ถา ภายใตการคูณกลาวคือ xy  yx สําหรับทุก ๆ x, y  R

R

มีสมบัติสลับที่

บทนิยาม 2.2.4. กําหนดให R เปนริงจะเรียก R วาริงมีเอกลักษณ (ring with identity) ถา R มีเอกลักษณการ คูณ (แทนสมาชิกเอกลักษณการคูณดวย 1) กลาวคือมี 1  R ที่ทําให 1x  x1  x สําหรับทุก ๆ x  R บทนิยาม 2.2.5. กําหนดให R เปนริงจะเรียก การดําเนินการเดียวกันกับ R

SR

วาริงยอย (subring) ของ

R

ถา

S

เปนริงภายใต

9 ตัวอยาง 2.2.6. จากบทนิยาม 2.2.4 เห็นไดชัดเจนวา (, , ), (, , ), (, , ) และ (, , ) เปนริงสลับที่มี เอกลัษณคือ 1 นอกจากนี้แลว (, , ), (, , ) และ (, , ) เปนริงยอยของ (, , ) ทฤษฎีบท 2.2.7. กําหนดให ( R, , ) เปนริงแลวจะได 1. ex  e  xe สําหรับทุก ๆ x  R 2. ( x) y   xy  x( y ) สําหรับทุก ๆ x, y  R 3. ( x)( y )  xy สําหรับทุก ๆ x  R 4. (1)x   x สําหรับทุก ๆ x  R บทนิย าม 2.2.8. กําหนดให ( R, , ) เปนริงจะเรียก R วาริงการหาร (division ring) ถา R เปนริงที่มี เอกลักษณของการคูณและสําหรับแตละสมาชิก x ใน R ซึ่ง x  0 จะมี x 1  R ที่ทําให xx 1  x 1x  1 บทนิยาม 2.2.9. กําหนดให ( R, , ) เปนริงและ x  R โดยที่ x  0 จะเรียก divisor) ถามี y  R และ y  0 ที่ทําให xy  0 หรือ yx  0

x

วาเปนตัวหารของศูนย (zero-

บทนิยาม 2.2.10. กําหนดให ( R, , ) เปนเปนริงสลับที่มี 1 เปนเอกลักษณ โดยที่ 1  0 จะเรียก อินทิกรัลโดเมน (integral domain) ถาไมมีตัวหารของศูนย ตัวอยาง 2.2.11. - เซตของจํานวนเต็ม (, , ) เปนริงที่มีเอกลักษณ - สําหรับทุกริง (, , ) เปนอินทิกรัลโดเมน - กําหนดให  เปนเซตของจํานวนเต็มและให  6  {0,1, 2,3, 4,5} จะไดวา สลับที่แตไมเปนอินทิกรัลโดเมน บทนิย าม 2.2.12. กําหนดให ( R, , ) เปนริงและ c  xy  yx สําหรับบางสมาชิก x และ y ในริง R

cR

จะเรียก

c

( R, , )

( 6 , , )

วา

เปนริง

วาตัวทําสลับที่ (commutator) ถา

บทนิยาม 2.2.13. กําหนดให ( R, , ) เปนริงและ I เปนริงยอยของ R จะเรียก I วาเปนไอดีลทางซาย (left ideal) ของ R ถา RI  I จะเรียก I วาเปนไอดีลทางทวา (right ideal) ของ R ถา IR  I และจะเรียก I วาไอดีล (ideal) ถา I เปนไอดีลทางซายและทางทวา

10 ตัวอยาง 2.2.14. เห็นไดชัดวา

n

เปนไอดีลของ



สําหรับทุกจํานวนนับ

n

ทฤษฎีบท 2.2.15. กําหนดให ( R, , ) เปนริงสลับที่และให a  R จะไดวา R  a    xa : x  R เปนไอดีล ของ R และเรียก R  a  วาไอดีลมุขสําคัญ (principal ideal) บทนิยาม 2.2.16. กําหนดให M เปนไอดีลของริง R โดยที่ M  R จะเรียก M วาเปนไอดีลใหญสุดเฉพาะ กลุม (maximal ideal) ของ R ถ าสําหรับ ทุก ๆ ไอดีล I ของ R โดยที่ M  I  R แลว I  R หรื อ M I

ทฤษฎีบท 2.2.17. ให I เปนไอดีลของริง R และให R / I  a  I | a  R , สําหรับทุกโคเซต (coset) ของ I สําหรับทุก a  I  R / I และ b  I  R / I โดยที่ ( a  I )  ( b  I )  ( a  b)  I

และ ( a  I )(b  I )  ( ab)  I

จะไดวา

R/ I

เปนริงเรียกวาริงผลหาร (quotient ring) ของ

บทนิยาม 2.2.18. กําหนดให

F

เปนริงการหารจะเรียก

F

R

ดวย

I

วาฟลด (field) ถา

F

เปนริงการหารสลับที่

2.3. สมบัติพื้นฐานของสมสัณฐาน (basic properties of isomorphism) ในหัวขอนี้เราจะกลาวถึงโครงสรางพื้นฐานของสมสัณฐาน บทนิยาม สมบัติ และตัวอยางตาง ๆ ของของ สมสัณฐาน โดยเริ่มตนจากการศึกษาบทนิยามของของกรุปยอยปกติ ดังนี้ บทนิย าม 2.3.1. กํา หนดให (G , ) เปน กรุ ป และ N เป น กรุ ป ย อ ยของ G จะเรีย ก N ว ากรุป ยอ ยปกติ (normal subgroup) ของ G ถา gN  Ng สําหรับทุก ๆ g  G และจะเขียน N  G แทน N เปนกรุป ยอยปกติของ G บทนิยาม 2.3.2. กําหนดให (G , ) และ ( H , ) เปนกรุปและ  : G  H จะเรียก  วาเปนฟงกชันสาทิส สัณฐาน (homomorphism) จาก G ไปยัง H ถา  ( x  y )   ( x )   ( y ) สําหรับทุก ๆ x, y  G

11 บทนิยาม 2.3.3. กําหนดให (G , ) และ ( H , ) เปนกรุปและ  : G  H เปนฟงกชันสาทิสสัณฐานแลว 1. ภาพของ  (image of  ) จะเขียนแทนดวย Im( ) หมายถึง { ( g ) : g  G} 2. เคอรเนลของ  (kernel of  ) จะเขียนแทนดวย Ker ( ) หมายถึง {g  G :  ( g )  e} ทฤษฎีบท 2.3.4. กําหนดให (G , ) และ ( H , ) เปนกรุปและ  : G  H เปนฟงกชันสาทิสสัณฐานจะได 1.  (e)  e 2.  ( x1 )   ( x) 1 สําหรับทุก ๆ x  R 3. Im( )  H 4. Ker ( )  G บทนิยาม 2.3.5. กําหนดให

(G , )

และ

( H , )

เปนกรุปและ

เรียก  วาเปนฟงกชันสมสัณฐาน (isomorphism) จาก (isomorphic) กันเขียนแทนดวย G  H ทฤษฎีบท 2.3.6. กําหนดให

(G , ), ( H , )

G

11

 :G  H onto

ไปยัง

H

และเรียก

G

กับ

H

วาสมสัณฐาน

เปนกรุปและ  : G  H เปนฟงกชันสาทิสสัณฐานจะได

G / Ker ( )  Im( )

ทฤษฎีบท 2.3.7. กําหนดให (G , ) และ 1. KN  NK  G 2. N  NK 3. N  K  K 4. K / ( N  K )  NK / N

และเปนฟงกชันสาทิสสัณฐานจะ

K G

ทฤษฎีบท 2.3.8. กําหนดให (G , ), K  G , 1. K / N  G / N 2. G / K   G / N  /  K / N 

และให

N G

N G

และ

จะไดวา

NK

จะไดวา

12 บทนิย าม 2.3.9. กําหนดให R และ S เปนริง และ  : R  S จะเรียก (homomorphism) จาก R ไปยัง S ถามีสมบัติดังนี้ 1.  ( x  y )   ( x)   ( y ) สําหรับทุก ๆ x, y  R 2.  ( xy )   ( x ) ( y ) สําหรับทุก ๆ x, y  R



วาเปนฟงกชันสาทิส สัณฐาน

บทนิยาม 2.3.10. กําหนดให R และ S เปนริงและ  : R  S เปนฟงกชันสาทิสสัณฐานแลว 1. ภาพของ  (image of  ) จะเขียนแทนดวย Im( ) หมายถึง { (r ) : r  R} 2. เคอรเนลของ  (kernel of  ) จะเขียนแทนดวย Ker ( ) หมายถึง {r  G :  (r )  e} ทฤษฎีบท 2.3.11. กําหนดให R และ S เปนริงและ  : R  S เปนฟงกชันสาทิสสัณฐานจะได 1.  (0 R )  0 s 2.  (1)  1 3.  ( x )   ( x ) สําหรับทุก ๆ x  R 4. Im( ) เปนริงยอยของ S 5. Ker ( ) เปนริงยอยของ R บทนิยาม 2.3.12. กําหนดให

R

และ

11

S

เปนริงและ  : R onto  S และเปนฟงกชันสาทิสสัณฐานจะเรียก

เปนฟงกชันสมสัณฐาน (isomorphism) จาก เขียนแทนดวย R  S ทฤษฎีบท 2.3.13. กําหนดให

R

และ

S

R

ไปยัง

S

และเรียก

R

กับ

S

G / Ker ( )  Im( )

ทฤษฎีบท 2.3.15. กําหนดให (R / I ) / ( J / I )  R / J

R

เปนริงและ

I, J

R

และ

เปนไอดีลของ

R

S

เปนริงยอยของ

โดยที่

IJ

วา

วาสมสัณฐาน (isomorphic)

เปนริงและ  : R  S เปนฟงกชันสาทิสสัณฐานจะได

ทฤษฎีบท 2.3.14. กําหนดให R เปนริง I เปนไอดีลของ 1. I  S เปนริงยอยของ R ที่บรรจุ I 2. I  S เปนไอดีลของ S 3. ( I  S ) / I  S / I  S



R

จะไดวา

จะไดวา

13

2.4. สมบัติพื้นฐานของมอดูล (basic properties of module) ในหัวขอนี้เราจะกลาวถึงโครงสรางพื้นฐานของมอดูล บทนิยาม สมบัติ และตัวอยางตาง ๆ ของมอดูล โดย เริ่มตนจากการศึกษาบทนิยามของของมอดูล ดังนี้ บทนิยาม 2.4.1. มอดูล (module) คือกรุปสลับที่ M และริง R ที่สามารถสรางฟงกชันจาก R  M ไปยัง M (  r , m   rm ) และมีสมบัติดังนี้ 1. (r  s)m  rm  sm สําหรับทุก ๆ r , s  R และ m  M 2. (rs)m  r ( sm) สําหรับทุก ๆ r , s  R และ m  M 3. r (m  n)  rm  rn สําหรับทุก ๆ r  R และ m, n  M 4. ถาริง R เปนริงมีเอกลักษณ 1 แลวจะมีสมบัติ 1m  m สําหรับทุก m  M และจะเรียก M วา มอดูลบน R หรือ M เปน R -มอดูล ( R -module) ตัวอยาง 2.4.2. กําหนดให

R

เปนริงจะไดวา

R

เปนมอดูลบน

R

และสําหรับทุก ๆ ฟลด

F

F

ตัวอยาง 2.4.3. สําหรับทุก ๆ กรุปสลับจะเปนมอดูลบน



โดยที่

( n, m)  nm

 m   m  m; n  0 m   ( n terms)  nm  0 ;n  0  n ( m) ;n