บทที่ 1 บทนํา 1.1. ความสําคัญและที่มาของปญหา ทฤษฎีกึ่ง มอดูล (semimodule Theory) เปนสาขาแขนงหนึ่งของคณิตศาสตรที่มีพื้นฐานมาจากวิชา พีชคณิตนามธรรม (abstract algebra) และเปนหนึ่งในวิชาคณิตศาสตรที่กลาวถึงระบบทางพีชคณิตของ R, , (J. N. Chaudhari และ D. R. Bonde; 2011, J.N. Chaudhari และ R.B. Dipak; 2010, S. Ebrahimi Atani และ M. Shajari Kohan; 2010, P.V. Srinivasa Rao; 2011, M. Srinivasa Reddy, V. Amarendra Babu และ P. V. Srinivasa Rao, 2013) โดยที่ R, และ R, เปนกึ่งกรุปสลับที่ (commutative semigroup) และมีสมบัติ a b c ab ac สําหรับทุก ๆ a, b, c R และมี 0 R ซึ่ง r 0 r และ r 0 0 สําหรับทุก ๆ r R จะเรียกระบบทางพีชคณิต R, , วากึ่งริง (semiring) กึ่งมอดูล M บนกึ่งริง R (semimodule M over semiring R ) คือระบบที่ประกอบดวยกึ่งกรุปสลับ ที่ M และกึ่งริง R ที่สามารถสรางฟงกชันจาก R M ไปยัง M ( r , m rm ) และมีสมบัติ 1. r s m rm sm สําหรับทุก r, s R และ m M 2. rs m r sm สําหรับทุก r, s R และ m M 3. r m n rm rn สําหรับทุก r R และ m, n M 4. 0m r 0M 0M สําหรับทุก r R และ m M Reza Ebrahimi Atani และ Shahabaddin Ebrahimi Atani (R. Ebrahimi Atani และ S. Ebrahimi Atani; 2010) ไดกําหนดบทนิยามของ k -กึ่งมอดูลยอย ( k -subsemimodule) N โดยที่ N M กลาวคือจะ เรียกเซต N วามอดูลยอยถาสําหรับทุก ๆ m, n N และ r R แลว m n N และ rn N นอกจากนี้ได กําหนดบทนิยามของกึ่งมอดูลยอยตัวประกอบ (factor subsemimodule) ของกึ่งมอดูล M บนกึ่งริง R และได ศึกษาสมบัติของกึ่งมอดูลยอยตัวประกอบบนกึ่งมอดูลดังกลาว Reza Ebrahimi Atani (R. Ebrahimi Atani; 2010) ไดศึกษาและกําหนดบทนิยามของกึ่งมอดูลผลหาร (quotient semimodule) ของ N กลาวคือกึ่งมอดูยอย N ของกึ่งมอดูล M บนกึ่งริง R นิยามความสัมพันธ บน M กํ า หนดโดย m1 m2 ก็ ต อ เมื่ อ มี n1 , n2 M โดยที่ m1 n1 m2 n2 จะได ว า เป น ความสัมพันธสมมูลบน M , ชั้นสมมูล (equivalence class) ของ m เขียนแทนดวย m N และกําหนดหมู
2 ของทุกชั้นสมมูล (collection of all equivalence classes) ดวย M / N จะไดวา M / N เปนกึ่งกรุปสลับที่มี เอกลักษณภายใตการดําเนินการ เมื่อ m1 N m2 N m1 m2 N สํ า หรั บ ทุ ก ๆ m1 N , m2 N M / N และสามารถสร า งฟ ง ก ชั น จาก R M / N ไปยั ง M / N ( r, m N rm N ) จะเห็นไดชัดเจนวา M / N เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง R นอกจากนี้ไดศึกษาสมบัติบาง ประการของกึ่งมอดูลยอยเฉพาะ (prime submodule) บนของกึ่งมอดูลผลหาร Gurse Yesilot, Kursat Hakan Ora และ Unsal Tekir (G. Yesilot, K. H. Oral และ U. Tekir; 2010) ไดศึกษาสมบัติของกึ่งมอดูลยอยเฉพาะ (prime subsemimodule) ของ N ในกึ่งมอดูลผลคูณ (multiplication) M บนกึ่งริง R นอกจากนี้ Hamid Agha Tavallaee และ Masoud Zolfaghari (H.A. Tavallaee และ M. Zolfaghari; 2013) ไดกําหนดบทนิยามของกึ่งมอดูลยอยกึ่งเฉพาะ (semiprime subsemimodule) ของ N กลา วคือ จะเรีย กกึ่ ง มอดูล ย อ ย N ว าเปนกึ่ ง มอดูล ยอ ยกึ่ง เฉพาะก็ตอ เมื่อ สํา หรับ ทุก ๆ m M , r R ถ า r n m N สําหรับบางจํานวนเต็มบวก n แลว rm N และไดศึกษาสมบัติของกึ่งมอดูลยอยกึ่งเฉพาะขางตน J. Saffar Ardabili, S. Motmaen และ A. Yousefian Darani (J. Saffar Ardabili, S. Motmaen และ A. Yousefian Darani; 2011) ไดกําหนดบทนิยามของกึ่ง มอดูลยอยเฉพาะเชิงแบบฉบับ (classical prime subsemimodule) ของ N กลาวคือจะเรียกกึ่งมอดูลยอย N วาเปนมอดูลยอยเฉพาะเชิงแบบถาสําหรับทุก ๆ m M และ a, b R โดยที่ abm N แลว am N หรือ bm N เมื่อ M เปนกึ่งมอดูลบนกึ่งริง R และ ไดศึกษาความสัมพันธของกึ่งมอดูลยอยเฉพาะเชิงแบบฉบับกับกึ่งมอดูลยอยเฉพาะ ยิ่งไปกวานั้น M. Behboodi, R. Jahani-nezhad และ M. H. Naderi (M. Behboodi, R. Jahani-nezhad และ M. H. Naderi; 2011) ไดกําหนด บทนิยามของมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (classical primary submodule) N กลาวคือจะเรียกมอดูลยอย N ว า เป น มอดู ล ย อ ยปฐมภู มิ เ ชิ ง แบบฉบั บ ถ า สํ า หรั บ ทุ ก ๆ m M และ a, b R โดยที่ abm N แล ว am N หรือ b n m N บางจํานวนเต็มบวก n และไดศึกษาสมบัติบางประการของมอดูลยอยปฐมภูมิกับมอดูล ยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ ในงานวิจัยนี้ไดศึกษาและหาสมบัติบางประการของ k -กึ่งมอดูลยอย ( k -subsemimodule), กึ่งมอดูล ยอ ยปฐมภู มิเ ชิง แบบฉบั บ (classical primary subsemimodule), กึ่ ง มอดู ล ย อ ยปฐมภู มิ (primary subsemimodule) และกึ่งมอดูลยอยกึ่งเฉพาะ (semiprime Subsemimodule) ในกึ่งมอดูล (semimodule) บนกึ่งริง (semiring) และไดจําแนกลักษณะเฉพาะบางประการของสิ่งที่ไดกลาวไปขางตน แนวคิดเหลานี้ถูกขยาย มาจากมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (primary submodule), มอดูลยอยปฐมภูมิแบบออน (weakly primary submodule) และมอดูลยอยกึ่งเฉพาะ (semiprime Submodule) ในมอดูล (module) บนริง (ring) นอกจากนี้ ไดหาความสัมพันธระหวางรากปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของกึ่งมอดูล (classical primary radical of semimodule) กับรากปฐมภูมิของกึ่งมอดูล (radical primary of semimodule) ทายสุดนี้ไดเงื่อนไขที่จําเปนและเพียงพอของกึ่ง
3 มอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (classical primary subsemimodule) ที่จะเปนกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ (primary subsemimodule)
1.2. วัตถุประสงคของงานวิจัย 1 เพื่ อ หาสมบั ติและความสั ม พัน ธร ะหวา งกึ่ง มอดู ล ย อ ยปฐมภู มิเ ชิ ง แบบฉบั บ (classical primary subsemimodule) กับกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ (primary subsemimodule) 2 เพื่อสรางทฤษฎีบทตาง ๆ ที่เกี่ยวกับสมบัติและความสัมพันธระหวางกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (classical primary subsemimodule) และกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ (primary subsemimodule)
1.3. ขอบเขตของงานวิจัย ในการหาความสัมพันธและหาสมบัติบางประการในงานวิจัยฉบับ นี้เราไดศึกษา k -กึ่งมอดูลยอย ( k subsemimodule), กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (classical primary subsemimodule), กึ่งมอดูลยอย ปฐมภูมิ (primary subsemimodule), กึ่งมอดูลยอยกึ่งเฉพาะ (semiprime subsemimodule), รากปฐมภูมิเชิง แบบฉบับของกึ่งมอดูล (classical primary radical of semimodule) และรากปฐมภูมิของกึ่งมอดูล (primary radical of semimodule) ผูวิจัยไดศึกษาในกึ่งมอดูลบนกึ่งริงสลับที่ (semimodules over a commutative semirings)
1.4. สมมติฐานของการวิจัย สําหรับทุก ๆ กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (classical primary subsemimodule) จะเปนกึ่งมอดูล ยอยปฐมภูมิ (primary subsemimodule) และรากปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของกึ่งมอดูล (classical primary radical of semimodule) จะเปนรากปฐมภูมิของกึ่งมอดูล (radical Primary of semimodule)
4
1.5. ประโยชนที่คาดวาจะไดรับ ดานวิชาการ 1. ทําใหเกิดความรูใหมซึ่งเปนการขยายปญหามาจากกึ่งมอดูลยอยเฉพาะเชิงแบบฉบับ (classical prime subsemimodule) ในกึ่งมอดูล (semimodule) 2. ไดความสัมพันธระหวางกึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (classical primary subsemimodule) กับกึ่งมอดูลยอยกึ่งปฐมภูมิ (primary subsemimodule) และรากปฐมภูมิเชิงแบบฉบับของกึ่งมอดูล (classical primary radical of semimodule) กับรากปฐมภูมิของกึ่งมอดูล (primary radical of semimodule) 3. ไดสมบัติบางประการของ k -กึ่งมอดูลยอย ( k -subsemimodule), กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิเชิงแบบฉบับ (Classical Primary Subsemimodule), กึ่งมอดูลยอยปฐมภูมิ (primary subsemimodule) และกึ่งมอดูลยอย กึ่งเฉพาะ (semiprime subsemimodule) ในกึ่งมอดูล ดานเศรษฐกิจ/พาณิชย เนื่องจากทฤษฎีกึ่งกรุป (semigroup theory) นั้นเปนพื้นฐานที่สําคัญในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร และเปนพื้นฐานของวิชาฟสิกสในแงของอันตรกริยาทั้งสี่ ในธรรมชาติ นักฟสิกสก็พบวามันมีสมมาตรบางอยา งที่ สอดคลองกับสมมาตรที่สามารถแทนไดดวยภาษาของทฤษฎี กรุป (group Theory) และเพราะวาทฤษฎีกึ่งกรุป (semigroup theory) เปนสวนหนึ่งของทฤษฎีกึ่งมอดูล (semimodule theory) เพราะฉะนั้นในการอธิบายเรื่อง ดังกลาวเหลานี้จะอธิบายผานทางภาษาของกรุป ทายที่สุดยังสามารถนําไปประยุกตใชในงานดานเศรษฐศาสตรได การเผยแพรในวารสาร การเผยแพร (ตีพิมพ) ไมนอยกวา 1 ชิ้นงานในวารสารระดับชาติหรือนานาชาติ หนวยงานที่นําผลการวิจัยไปใชประโยชน โรงเรียนและสถาบันอุดมศึกษา
